sin(x/2)<-sqrt(3)/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(x/2)<-sqrt(3)/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

            ___ 
   /x\   -\/ 3  
sin|-| < -------
   \2/      2   

$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
Или
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 4 \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = 4 \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(4 \pi n - \frac{2 \pi}{3}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\frac{4 \pi n - \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}}{2} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$

                   ___ 
    /1    pi\   -\/ 3  
-sin|-- + --| < -------
    \20   3 /      2   
                

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 4 \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 4 \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x > 4 \pi n + \frac{8 \pi}{3}$$

Быстрый ответ

   /8*pi          10*pi\
And|---- < x, x < -----|
   \ 3              3  /

$$\frac{8 \pi}{3} < x \wedge x < \frac{10 \pi}{3}$$

Быстрый ответ 2

 8*pi  10*pi 
(----, -----)
  3      3   

$$x\ in\ \left(\frac{8 \pi}{3}, \frac{10 \pi}{3}\right)$$

График