49*x^4+48*x^2-1<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 49*x^4+48*x^2-1<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

    4       2        
49*x  + 48*x  - 1 < 0

$$49 x^{4} + 48 x^{2} - 1 < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$49 x^{4} + 48 x^{2} - 1 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$49 x^{4} + 48 x^{2} - 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$49 x^{4} + 48 x^{2} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$49 v^{2} + 48 v - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 49$$
$$b = 48$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(48)^2 - 4 * (49) * (-1) = 2500

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = \frac{1}{49}$$
Упростить
$$v_{2} = -1$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{1}{49}$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = \frac{1}{49}$$
$$x_{2} = -1$$
Данные корни
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = \frac{1}{49}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$49 x^{4} + 48 x^{2} - 1 < 0$$
$$\left(-1\right) 1 + 48 \left(- \frac{11}{10}\right)^{2} + 49 \left(- \frac{11}{10}\right)^{4} < 0$$

1288209    
------- < 0
 10000     

но

1288209    
------- > 0
 10000     

Тогда
$$x < -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -1 \wedge x < \frac{1}{49}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1

Быстрый ответ

And(-1/7 < x, x < 1/7)

$$- \frac{1}{7} < x \wedge x < \frac{1}{7}$$

Быстрый ответ 2

(-1/7, 1/7)

$$x\ in\ \left(- \frac{1}{7}, \frac{1}{7}\right)$$

График