3^(-x)<=7 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 3^(-x)<=7 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 -x     
3   <= 7

$$3^{- x} \leq 7$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$3^{- x} \leq 7$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3^{- x} = 7$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$3^{- x} = 7$$
или
$$-7 + 3^{- x} = 0$$
или
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = 7$$
или
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = 7$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$$
получим
$$v - 7 = 0$$
или
$$v - 7 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 7$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{1} = 7$$
Данные корни
$$x_{1} = 7$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 7$$
=
$$\frac{69}{10}$$
подставляем в выражение
$$3^{- x} \leq 7$$
$$3^{\left(-1\right) \frac{69}{10}} \leq 7$$

10___     
\/ 3      
----- <= 7
 2187     
     

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq 7$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

-log(7)      
-------- <= x
 log(3)      

$$- \frac{\log{\left(7 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \leq x$$

Быстрый ответ 2

 -log(7)      
[--------, oo)
  log(3)      

$$x\ in\ \left[- \frac{\log{\left(7 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}, \infty\right)$$

График