3^(x-2)+3^(x-1)<28 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 3^(x-2)+3^(x-1)<28 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x - 2    x - 1     
3      + 3      < 28

$$3^{x - 1} + 3^{x - 2} < 28$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$3^{x - 1} + 3^{x - 2} < 28$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3^{x - 1} + 3^{x - 2} = 28$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$3^{x - 1} + 3^{x - 2} = 28$$
или
$$\left(3^{x - 1} + 3^{x - 2}\right) - 28 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$\frac{4 v}{9} - 28 = 0$$
или
$$\frac{4 v}{9} - 28 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$\frac{4 v}{9} = 28$$
Разделим обе части ур-ния на 4/9

v = 28 / (4/9)

делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = 63$$
$$x_{1} = 63$$
Данные корни
$$x_{1} = 63$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 63$$
=
$$\frac{629}{10}$$
подставляем в выражение
$$3^{x - 1} + 3^{x - 2} < 28$$
$$3^{\frac{629}{10} - 2} + 3^{\frac{629}{10} - 1} < 28$$

                                9/10     
169564633100864814057177732804*3     < 28
     

но

                                9/10     
169564633100864814057177732804*3     > 28
     

Тогда
$$x < 63$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 63$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x_1

Быстрый ответ

    log(63)
x < -------
     log(3)

$$x < \frac{\log{\left(63 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$

Быстрый ответ 2

      log(63) 
(-oo, -------)
       log(3) 

$$x\ in\ \left(-\infty, \frac{\log{\left(63 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$

График