3^x+10*3^(-x)<=11 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 3^x+10*3^(-x)<=11 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x       -x      
3  + 10*3   <= 11

$$3^{x} + 10 \cdot 3^{- x} \leq 11$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$3^{x} + 10 \cdot 3^{- x} \leq 11$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3^{x} + 10 \cdot 3^{- x} = 11$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$3^{x} + 10 \cdot 3^{- x} = 11$$
или
$$\left(3^{x} + 10 \cdot 3^{- x}\right) - 11 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$$
получим
$$10 v - 11 + \frac{1}{v} = 0$$
или
$$10 v - 11 + \frac{1}{v} = 0$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 0$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$3^{x} + 10 \cdot 3^{- x} \leq 11$$
$$\frac{1}{\sqrt[10]{3}} + 10 \cdot 3^{\left(-1\right) \left(- \frac{1}{10}\right)} \leq 11$$

            9/10      
   10___   3          
10*\/ 3  + ----- <= 11
             3        
      

но

            9/10      
   10___   3          
10*\/ 3  + ----- >= 11
             3        
      

Тогда
$$x \leq 0$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 0 \wedge x \leq \frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

   /             log(10)\
And|0 <= x, x <= -------|
   \              log(3)/

$$0 \leq x \wedge x \leq \frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$

Быстрый ответ 2

    log(10) 
[0, -------]
     log(3) 

$$x\ in\ \left[0, \frac{\log{\left(10 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right]$$

График