Решение неравенств/ (30*x-9)/(x-2)>=25*(x+2)

(30*x-9)/(x-2)>=25*(x+2) (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (30*x-9)/(x-2)>=25*(x+2) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    30*x - 9              
-------- >= 25*(x + 2)
 x - 2
    $$\frac{30 x - 9}{x - 2} \geq 25 \left(x + 2\right)$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\frac{30 x - 9}{x - 2} \geq 25 \left(x + 2\right)$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{30 x - 9}{x - 2} = 25 \left(x + 2\right)$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{30 x - 9}{x - 2} = 25 \left(x + 2\right)$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
    -2 + x
    получим:
    $$\frac{1}{x - 2} \left(x - 2\right) \left(30 x - 9\right) = 25 \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)$$
    $$30 x - 9 = 25 x^{2} - 100$$
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$30 x - 9 = 25 x^{2} - 100$$
    в
    $$- 25 x^{2} + 30 x + 91 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -25$$
    $$b = 30$$
    $$c = 91$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (30)^2 - 4 * (-25) * (91) = 10000

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = - \frac{7}{5}$$
    $$x_{2} = \frac{13}{5}$$
    $$x_{1} = - \frac{7}{5}$$
    $$x_{2} = \frac{13}{5}$$
    $$x_{1} = - \frac{7}{5}$$
    $$x_{2} = \frac{13}{5}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \frac{7}{5}$$
    $$x_{2} = \frac{13}{5}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{3}{2}$$
    =
    $$- \frac{3}{2}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{30 x - 9}{x - 2} \geq 25 \left(x + 2\right)$$
    $$\frac{\frac{-90}{2} 1 - 9}{-2 + - \frac{3}{2}} \geq 25 \left(- \frac{3}{2} + 2\right)$$
    108/7 >= 25/2

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq - \frac{7}{5}$$
     _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq - \frac{7}{5}$$
    $$x \geq \frac{13}{5}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
    Or(And(x <= -7/5, -oo < x), And(x <= 13/5, 2 < x))
    $$\left(x \leq - \frac{7}{5} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(x \leq \frac{13}{5} \wedge 2 < x\right)$$
    Быстрый ответ 2 [src]
    (-oo, -7/5] U (2, 13/5]
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{7}{5}\right] \cup \left(2, \frac{13}{5}\right]$$