y>=x*x-2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: y>=x*x-2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

y >= x*x - 2

$$y \geq x x - 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$y \geq x x - 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$y = x x - 2$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$y = x x - 2$$
в
$$y + - x^{2} + 2 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 0$$
$$c = y + 2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-1) * (2 + y) = 8 + 4*y

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \sqrt{4 y + 8}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} \sqrt{4 y + 8}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \sqrt{4 y + 8}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} \sqrt{4 y + 8}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \sqrt{4 y + 8}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} \sqrt{4 y + 8}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \sqrt{4 y + 8}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} \sqrt{4 y + 8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

    _________     
  \/ 8 + 4*y    1 
- ----------- - --
       2        10

=
$$- \frac{1}{2} \sqrt{4 y + 8} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$y \geq x x - 2$$

     /    _________     \ /    _________     \    
     |  \/ 8 + 4*y    1 | |  \/ 8 + 4*y    1 |    
y >= |- ----------- - --|*|- ----------- - --| - 2
     \       2        10/ \       2        10/    

                              2
          /         _________\ 
y >=      |  1    \/ 8 + 4*y | 
     -2 + |- -- - -----------| 
          \  10        2     / 

Тогда
$$x \leq - \frac{1}{2} \sqrt{4 y + 8}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{1}{2} \sqrt{4 y + 8} \wedge x \leq \frac{1}{2} \sqrt{4 y + 8}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2