8^((sqrt(8))^x)>4096 (неравенство) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼 Укажите решение неравенства: 8^((sqrt(8))^x)>4096 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
Дано неравенство:8 ( 8 ) x > 4096 8^{\left(\sqrt{8}\right)^{x}} > 4096 8 ( 8 ) x > 4096 Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:8 ( 8 ) x = 4096 8^{\left(\sqrt{8}\right)^{x}} = 4096 8 ( 8 ) x = 4096 Решаем:x 1 = 2 log ( 2 ) log ( 3 2 3 log ( 4096 ) 3 3 log ( 2 ) 3 ) x_{1} = \frac{2}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (\frac{3^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\log{\left (4096 \right )}}}{3 \sqrt[3]{\log{\left (2 \right )}}} \right )} x 1 = log ( 2 ) 2 log ( 3 3 log ( 2 ) 3 3 2 3 log ( 4096 ) ) x 2 = 2 log ( 2 ) log ( − ( 3 2 3 − 3 3 6 i ) log ( 4096 ) 3 6 log ( 2 ) 3 ) x_{2} = \frac{2}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (- \frac{\left(3^{\frac{2}{3}} - 3 \sqrt[6]{3} i\right) \sqrt[3]{\log{\left (4096 \right )}}}{6 \sqrt[3]{\log{\left (2 \right )}}} \right )} x 2 = log ( 2 ) 2 log − 6 3 log ( 2 ) ( 3 3 2 − 3 6 3 i ) 3 log ( 4096 ) x 3 = 2 log ( 2 ) log ( − ( 3 2 3 + 3 3 6 i ) log ( 4096 ) 3 6 log ( 2 ) 3 ) x_{3} = \frac{2}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (- \frac{\left(3^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[6]{3} i\right) \sqrt[3]{\log{\left (4096 \right )}}}{6 \sqrt[3]{\log{\left (2 \right )}}} \right )} x 3 = log ( 2 ) 2 log − 6 3 log ( 2 ) ( 3 3 2 + 3 6 3 i ) 3 log ( 4096 ) Исключаем комплексные решения:x 1 = 2 log ( 2 ) log ( 3 2 3 log ( 4096 ) 3 3 log ( 2 ) 3 ) x_{1} = \frac{2}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (\frac{3^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\log{\left (4096 \right )}}}{3 \sqrt[3]{\log{\left (2 \right )}}} \right )} x 1 = log ( 2 ) 2 log ( 3 3 log ( 2 ) 3 3 2 3 log ( 4096 ) ) Данные корниx 1 = 2 log ( 2 ) log ( 3 2 3 log ( 4096 ) 3 3 log ( 2 ) 3 ) x_{1} = \frac{2}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (\frac{3^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\log{\left (4096 \right )}}}{3 \sqrt[3]{\log{\left (2 \right )}}} \right )} x 1 = log ( 2 ) 2 log ( 3 3 log ( 2 ) 3 3 2 3 log ( 4096 ) ) являются точками смены знака неравенства в решениях. Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:x 0 < x 1 x_{0} < x_{1} x 0 < x 1 Возьмём например точкуx 0 = x 1 − 1 10 x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10} x 0 = x 1 − 10 1 =− 1 10 + 2 log ( 2 ) log ( 3 2 3 log ( 4096 ) 3 3 log ( 2 ) 3 ) - \frac{1}{10} + \frac{2}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (\frac{3^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\log{\left (4096 \right )}}}{3 \sqrt[3]{\log{\left (2 \right )}}} \right )} − 10 1 + log ( 2 ) 2 log ( 3 3 log ( 2 ) 3 3 2 3 log ( 4096 ) ) =− 1 10 + 2 log ( 2 ) log ( 3 2 3 log ( 4096 ) 3 3 log ( 2 ) 3 ) - \frac{1}{10} + \frac{2}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (\frac{3^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\log{\left (4096 \right )}}}{3 \sqrt[3]{\log{\left (2 \right )}}} \right )} − 10 1 + log ( 2 ) 2 log ( 3 3 log ( 2 ) 3 3 2 3 log ( 4096 ) ) подставляем в выражение8 ( 8 ) x > 4096 8^{\left(\sqrt{8}\right)^{x}} > 4096 8 ( 8 ) x > 4096 8 ( 8 ) − 1 10 + 2 log ( 2 ) log ( 3 2 3 log ( 4096 ) 3 3 log ( 2 ) 3 ) > 4096 8^{\left(\sqrt{8}\right)^{- \frac{1}{10} + \frac{2}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (\frac{3^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\log{\left (4096 \right )}}}{3 \sqrt[3]{\log{\left (2 \right )}}} \right )}}} > 4096 8 ( 8 ) − 10 1 + l o g ( 2 ) 2 l o g ( 3 3 l o g ( 2 ) 3 3 2 3 l o g ( 4096 ) ) > 4096 / / 2/3 3 ___________\\
| |3 *\/ log(4096) ||
| 2*log|------------------||
| | 3 ________ ||
| 1 \ 3*\/ log(2) /|
| - -- + -------------------------| > 4096
| 10 log(2) |
|/ ___\ |
\\2*\/ 2 / /
8
Тогдаx < 2 log ( 2 ) log ( 3 2 3 log ( 4096 ) 3 3 log ( 2 ) 3 ) x < \frac{2}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (\frac{3^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\log{\left (4096 \right )}}}{3 \sqrt[3]{\log{\left (2 \right )}}} \right )} x < log ( 2 ) 2 log ( 3 3 log ( 2 ) 3 3 2 3 log ( 4096 ) ) не выполняется значит решение неравенства будет при:x > 2 log ( 2 ) log ( 3 2 3 log ( 4096 ) 3 3 log ( 2 ) 3 ) x > \frac{2}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (\frac{3^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\log{\left (4096 \right )}}}{3 \sqrt[3]{\log{\left (2 \right )}}} \right )} x > log ( 2 ) 2 log ( 3 3 log ( 2 ) 3 3 2 3 log ( 4096 ) ) _____
/
-------ο-------
x1
Решение неравенства на графике
-5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 5.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0 100000
4 3 < x ∧ x < ∞ \frac{4}{3} < x \wedge x < \infty 3 4 < x ∧ x < ∞ x ∈ ( 4 3 , ∞ ) x \in \left(\frac{4}{3}, \infty\right) x ∈ ( 3 4 , ∞ )