Решение неравенств/ (x-2)*(x-a)<0

(x-2)*(x-a)<0 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x-2)*(x-a)<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    (x - 2)*(x - a) < 0
    $$\left(- a + x\right) \left(x - 2\right) < 0$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\left(- a + x\right) \left(x - 2\right) < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(- a + x\right) \left(x - 2\right) = 0$$
    Решаем:
    Раскроем выражение в уравнении
    $$\left(- a + x\right) \left(x - 2\right) = 0$$
    Получаем квадратное уравнение
    $$- a x + 2 a + x^{2} - 2 x = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = - a - 2$$
    $$c = 2 a$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-2 - a)^2 - 4 * (1) * (2*a) = (-2 - a)^2 - 8*a

    Уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2}} + 1$$
    $$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2}} + 1$$
    $$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2}} + 1$$
    $$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2}} + 1$$
    $$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2}} + 1$$
    $$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2}} + 1$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2}} + 1$$
    $$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2}} + 1$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
               _________________     
          /         2            
    a   \/  (-2 - a)  - 8*a    1 
1 + - + -------------------- - --
    2            2             10

    =
    $$\frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2}} + \frac{9}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(- a + x\right) \left(x - 2\right) < 0$$
    /           _________________         \ /           _________________         \    
|          /         2                | |          /         2                |    
|    a   \/  (-2 - a)  - 8*a    1     | |    a   \/  (-2 - a)  - 8*a    1     |    
|1 + - + -------------------- - -- - 2|*|1 + - + -------------------- - -- - a| < 0
\    2            2             10    / \    2            2             10    /    

    /              _________________\ /        _________________    \    
|             /         2       | |       /         2           |    
|  11   a   \/  (-2 - a)  - 8*a | |9    \/  (-2 - a)  - 8*a    a| < 0
|- -- + - + --------------------|*|-- + -------------------- - -|    
\  10   2            2          / \10            2             2/

    Тогда
    $$x < \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2}} + 1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2}} + 1 \wedge x < \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2}} + 1$$
             _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2