(x-2)*(x-a)<5 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x-2)*(x-a)<5 (множество решений неравенства)

Вы ввели

(x - 2)*(x - a) < 5

$$\left(- a + x\right) \left(x - 2\right) < 5$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(- a + x\right) \left(x - 2\right) < 5$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(- a + x\right) \left(x - 2\right) = 5$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(- a + x\right) \left(x - 2\right) = 5$$
в
$$\left(- a + x\right) \left(x - 2\right) - 5 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(- a + x\right) \left(x - 2\right) - 5 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- a x + 2 a + x^{2} - 2 x - 5 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = - a - 2$$
$$c = 2 a - 5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2 - a)^2 - 4 * (1) * (-5 + 2*a) = 20 + (-2 - a)^2 - 8*a

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2} + 20} + 1$$
$$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2} + 20} + 1$$
$$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2} + 20} + 1$$
$$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2} + 20} + 1$$
$$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2} + 20} + 1$$
$$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2} + 20} + 1$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2} + 20} + 1$$
$$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2} + 20} + 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

           ______________________     
          /              2            
    a   \/  20 + (-2 - a)  - 8*a    1 
1 + - + ------------------------- - --
    2               2               10

=
$$\frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2} + 20} + \frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(- a + x\right) \left(x - 2\right) < 5$$

/           ______________________         \ /           ______________________         \    
|          /              2                | |          /              2                |    
|    a   \/  20 + (-2 - a)  - 8*a    1     | |    a   \/  20 + (-2 - a)  - 8*a    1     |    
|1 + - + ------------------------- - -- - 2|*|1 + - + ------------------------- - -- - a| < 5
\    2               2               10    / \    2               2               10    /    

/              ______________________\ /        ______________________    \    
|             /              2       | |       /              2           |    
|  11   a   \/  20 + (-2 - a)  - 8*a | |9    \/  20 + (-2 - a)  - 8*a    a| < 5
|- -- + - + -------------------------|*|-- + ------------------------- - -|    
\  10   2               2            / \10               2               2/    

Тогда
$$x < \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2} + 20} + 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2} + 20} + 1 \wedge x < \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 8 a + \left(- a - 2\right)^{2} + 20} + 1$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2