(x-2)*(x+2)<x (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x-2)*(x+2)<x (множество решений неравенства)

Вы ввели

(x - 2)*(x + 2) < x

$$\left(x + 2\right) \left(x - 2\right) < x$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x + 2\right) \left(x - 2\right) < x$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 2\right) \left(x - 2\right) = x$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(x + 2\right) \left(x - 2\right) = x$$
в
$$- x + \left(x + 2\right) \left(x - 2\right) = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$- x + \left(x + 2\right) \left(x - 2\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} - x - 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-4) = 17

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Упростить
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 2\right) \left(x - 2\right) < x$$
$$\left(\left(-1\right) 2 + \left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right)\right) \left(\left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right) + 2\right) < \frac{2}{5} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$

/        ____\ /       ____\         ____
|  8   \/ 17 | |12   \/ 17 |   2   \/ 17 
|- - - ------|*|-- - ------| < - - ------
\  5     2   / \5      2   /   5     2   
   

но

/        ____\ /       ____\         ____
|  8   \/ 17 | |12   \/ 17 |   2   \/ 17 
|- - - ------|*|-- - ------| > - - ------
\  5     2   / \5      2   /   5     2   
   

Тогда
$$x < \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2} \wedge x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

   /          ____        ____    \
   |    1   \/ 17   1   \/ 17     |
And|x < - + ------, - - ------ < x|
   \    2     2     2     2       /

$$x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2} \wedge \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2} < x$$

Быстрый ответ 2

       ____        ____ 
 1   \/ 17   1   \/ 17  
(- - ------, - + ------)
 2     2     2     2    

$$x\ in\ \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}\right)$$

График