(x-1)*(x^2-1)<0 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: (x-1)*(x^2-1)<0 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right) < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x - 1 = 0$$
$$x^{2} - 1 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x - 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 1$$
Получим ответ: x1 = 1
2.
$$x^{2} - 1 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
Данные корни
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 1\right) < 0$$
$$\left(- \frac{11}{10} - 1\right) \left(-1 + \left(- \frac{11}{10}\right)^{2}\right) < 0$$
-441 ----- < 0 1000
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -1$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x3 x1Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -1$$
$$x > 1$$
Решение неравенства на графике