(x-5)^2-2<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x-5)^2-2<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

       2        
(x - 5)  - 2 < 0

$$\left(x - 5\right)^{2} - 2 < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x - 5\right)^{2} - 2 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x - 5\right)^{2} - 2 = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x - 5\right)^{2} - 2 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} - 10 x + 23 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -10$$
$$c = 23$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-10)^2 - 4 * (1) * (23) = 8

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \sqrt{2} + 5$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} + 5$$
$$x_{1} = \sqrt{2} + 5$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} + 5$$
$$x_{1} = \sqrt{2} + 5$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} + 5$$
Данные корни
$$x_{2} = - \sqrt{2} + 5$$
$$x_{1} = \sqrt{2} + 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

      ___   1 
5 - \/ 2  - --
            10

=
$$- \sqrt{2} + \frac{49}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x - 5\right)^{2} - 2 < 0$$

                    2        
/      ___   1     \         
|5 - \/ 2  - -- - 5|  - 2 < 0
\            10    /         

                   2    
     /  1      ___\     
-2 + |- -- - \/ 2 |  < 0
     \  10        /     
    

но

                   2    
     /  1      ___\     
-2 + |- -- - \/ 2 |  > 0
     \  10        /     
    

Тогда
$$x < - \sqrt{2} + 5$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \sqrt{2} + 5 \wedge x < \sqrt{2} + 5$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

   /          ___        ___    \
And\x < 5 + \/ 2 , 5 - \/ 2  < x/

$$x < \sqrt{2} + 5 \wedge - \sqrt{2} + 5 < x$$

Быстрый ответ 2

       ___        ___ 
(5 - \/ 2 , 5 + \/ 2 )

$$x \in \left(- \sqrt{2} + 5, \sqrt{2} + 5\right)$$

График