(x-3)*(x-k)<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x-3)*(x-k)<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

(x - 3)*(x - k) < 0

$$\left(- k + x\right) \left(x - 3\right) < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(- k + x\right) \left(x - 3\right) < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(- k + x\right) \left(x - 3\right) = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(- k + x\right) \left(x - 3\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- k x + 3 k + x^{2} - 3 x = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = - k - 3$$
$$c = 3 k$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3 - k)^2 - 4 * (1) * (3*k) = (-3 - k)^2 - 12*k

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{k}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 12 k + \left(- k - 3\right)^{2}} + \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{k}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 12 k + \left(- k - 3\right)^{2}} + \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = \frac{k}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 12 k + \left(- k - 3\right)^{2}} + \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{k}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 12 k + \left(- k - 3\right)^{2}} + \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = \frac{k}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 12 k + \left(- k - 3\right)^{2}} + \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{k}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 12 k + \left(- k - 3\right)^{2}} + \frac{3}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{k}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 12 k + \left(- k - 3\right)^{2}} + \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{k}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 12 k + \left(- k - 3\right)^{2}} + \frac{3}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

           __________________     
          /         2             
3   k   \/  (-3 - k)  - 12*k    1 
- + - + --------------------- - --
2   2             2             10

=
$$\frac{k}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 12 k + \left(- k - 3\right)^{2}} + \frac{7}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left(- k + x\right) \left(x - 3\right) < 0$$

/           __________________         \ /           __________________         \    
|          /         2                 | |          /         2                 |    
|3   k   \/  (-3 - k)  - 12*k    1     | |3   k   \/  (-3 - k)  - 12*k    1     |    
|- + - + --------------------- - -- - 3|*|- + - + --------------------- - -- - k| < 0
\2   2             2             10    / \2   2             2             10    /    

/             __________________\ /       __________________    \    
|            /         2        | |      /         2            |    
|  8   k   \/  (-3 - k)  - 12*k | |7   \/  (-3 - k)  - 12*k    k| < 0
|- - + - + ---------------------|*|- + --------------------- - -|    
\  5   2             2          / \5             2             2/    

Тогда
$$x < \frac{k}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 12 k + \left(- k - 3\right)^{2}} + \frac{3}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{k}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 12 k + \left(- k - 3\right)^{2}} + \frac{3}{2} \wedge x < \frac{k}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 12 k + \left(- k - 3\right)^{2}} + \frac{3}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2