x-8/x>2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x-8/x>2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

    8    
x - - > 2
    x    

$$x - \frac{8}{x} > 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x - \frac{8}{x} > 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x - \frac{8}{x} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x - \frac{8}{x} = 2$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и x
получим:
$$x \left(x - \frac{8}{x}\right) = 2 x$$
$$x^{2} - 8 = 2 x$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} - 8 = 2 x$$
в
$$x^{2} - 2 x - 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = -8$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (-8) = 36

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -2$$
Данные корни
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$x - \frac{8}{x} > 2$$

  21      8       
- -- - ------- > 2
  10         1    
       /-21 \     
       |----|     
       \ 10 /     

359    
--- > 2
210    

Тогда
$$x < -2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -2 \wedge x < 4$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

Or(And(-2 < x, x < 0), And(4 < x, x < oo))

$$\left(-2 < x \wedge x < 0\right) \vee \left(4 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-2, 0) U (4, oo)

$$x \in \left(-2, 0\right) \cup \left(4, \infty\right)$$

График