(x-8)^2<(x-8)*sqrt(3) (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x-8)^2<(x-8)*sqrt(3) (множество решений неравенства)

Вы ввели

       2             ___
(x - 8)  < (x - 8)*\/ 3 

$$\left(x - 8\right)^{2} < \sqrt{3} \left(x - 8\right)$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x - 8\right)^{2} < \sqrt{3} \left(x - 8\right)$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x - 8\right)^{2} = \sqrt{3} \left(x - 8\right)$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(x - 8\right)^{2} = \sqrt{3} \left(x - 8\right)$$
в
$$\left(x - 8\right)^{2} - \sqrt{3} \left(x - 8\right) = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x - 8\right)^{2} - \sqrt{3} \left(x - 8\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} - 16 x - \sqrt{3} x + 8 \sqrt{3} + 64 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -16 - \sqrt{3}$$
$$c = 8 \sqrt{3} + 64$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-16 - sqrt(3))^2 - 4 * (1) * (64 + 8*sqrt(3)) = -256 + (-16 - sqrt(3))^2 - 32*sqrt(3)

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + 8$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 8$$
Упростить
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + 8$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 8$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + 8$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 8$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 8$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(- \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 8\right)$$
=
$$- \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{79}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x - 8\right)^{2} < \sqrt{3} \left(x - 8\right)$$
$$\left(\left(-1\right) 8 + \left(- \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{79}{10}\right)\right)^{2} < \sqrt{3} \left(\left(-1\right) 8 + \left(- \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{79}{10}\right)\right)$$

                                                       2         /                   __________________________________\
/                   __________________________________\          |                  /                     2            |
|                  /                     2            |          |         ___     /         /        ___\         ___ |
|         ___     /         /        ___\         ___ |  <   ___ |  1    \/ 3    \/   -256 + \-16 - \/ 3 /  - 32*\/ 3  |
|  1    \/ 3    \/   -256 + \-16 - \/ 3 /  - 32*\/ 3  |    \/ 3 *|- -- + ----- - --------------------------------------|
|- -- + ----- - --------------------------------------|          \  10     2                       2                   /
\  10     2                       2                   /    

но

                                                       2         /                   __________________________________\
/                   __________________________________\          |                  /                     2            |
|                  /                     2            |          |         ___     /         /        ___\         ___ |
|         ___     /         /        ___\         ___ |  >   ___ |  1    \/ 3    \/   -256 + \-16 - \/ 3 /  - 32*\/ 3  |
|  1    \/ 3    \/   -256 + \-16 - \/ 3 /  - 32*\/ 3  |    \/ 3 *|- -- + ----- - --------------------------------------|
|- -- + ----- - --------------------------------------|          \  10     2                       2                   /
\  10     2                       2                   /    

Тогда
$$x < - \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 8$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \wedge x < \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{-256 - 32 \sqrt{3} + \left(-16 - \sqrt{3}\right)^{2}}}{2} + 8$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1

Быстрый ответ

   /                 ___\
And\8 < x, x < 8 + \/ 3 /

$$8 < x \wedge x < \sqrt{3} + 8$$

Быстрый ответ 2

          ___ 
(8, 8 + \/ 3 )

$$x\ in\ \left(8, \sqrt{3} + 8\right)$$

График