x+2/x>=3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x+2/x>=3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

    2     
x + - >= 3
    x     

$$x + \frac{2}{x} \geq 3$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x + \frac{2}{x} \geq 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x + \frac{2}{x} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x + \frac{2}{x} = 3$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и x
получим:
$$x \left(x + \frac{2}{x}\right) = 3 x$$
$$x^{2} + 2 = 3 x$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + 2 = 3 x$$
в
$$x^{2} - 3 x + 2 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = 2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (2) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 1$$
Данные корни
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$x + \frac{2}{x} \geq 3$$
$$\frac{9}{10} + \frac{2}{\frac{9}{10}} \geq 3$$

281     
--- >= 3
 90     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 1$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 1$$
$$x \geq 2$$

Быстрый ответ

Or(And(2 <= x, x < oo), And(x <= 1, 0 < x))

$$\left(2 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq 1 \wedge 0 < x\right)$$

Быстрый ответ 2

(0, 1] U [2, oo)

$$x \in \left(0, 1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$

График