(x+2)*(x-a)<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x+2)*(x-a)<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

(x + 2)*(x - a) < 0

$$\left(- a + x\right) \left(x + 2\right) < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(- a + x\right) \left(x + 2\right) < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(- a + x\right) \left(x + 2\right) = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(- a + x\right) \left(x + 2\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- a x - 2 a + x^{2} + 2 x = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = - a + 2$$
$$c = - 2 a$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2 - a)^2 - 4 * (1) * (-2*a) = (2 - a)^2 + 8*a

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{8 a + \left(- a + 2\right)^{2}} - 1$$
$$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{8 a + \left(- a + 2\right)^{2}} - 1$$
$$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{8 a + \left(- a + 2\right)^{2}} - 1$$
$$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{8 a + \left(- a + 2\right)^{2}} - 1$$
$$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{8 a + \left(- a + 2\right)^{2}} - 1$$
$$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{8 a + \left(- a + 2\right)^{2}} - 1$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{8 a + \left(- a + 2\right)^{2}} - 1$$
$$x_{2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{8 a + \left(- a + 2\right)^{2}} - 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

            ________________     
           /        2            
     a   \/  (2 - a)  + 8*a    1 
-1 + - + ------------------- - --
     2            2            10

=
$$\frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{8 a + \left(- a + 2\right)^{2}} - \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(- a + x\right) \left(x + 2\right) < 0$$

/            ________________         \ /            ________________         \    
|           /        2                | |           /        2                |    
|     a   \/  (2 - a)  + 8*a    1     | |     a   \/  (2 - a)  + 8*a    1     |    
|-1 + - + ------------------- - -- + 2|*|-1 + - + ------------------- - -- - a| < 0
\     2            2            10    / \     2            2            10    /    

/          ________________    \ /            ________________\    
|         /        2           | |           /        2       |    
|  11   \/  (2 - a)  + 8*a    a| |9    a   \/  (2 - a)  + 8*a | < 0
|- -- + ------------------- - -|*|-- + - + -------------------|    
\  10            2            2/ \10   2            2         /    

Тогда
$$x < \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{8 a + \left(- a + 2\right)^{2}} - 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{8 a + \left(- a + 2\right)^{2}} - 1 \wedge x < \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{8 a + \left(- a + 2\right)^{2}} - 1$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2