(x+1)^3+2>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x+1)^3+2>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

       3        
(x + 1)  + 2 > 0

$$\left(x + 1\right)^{3} + 2 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x + 1\right)^{3} + 2 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 1\right)^{3} + 2 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left(x + 1\right)^{3} + 2 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(x + 1\right)^{3}} = \sqrt[3]{-2}$$
или
$$x + 1 = \sqrt[3]{-2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

1 + x = -2^1/3

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -1 + \sqrt[3]{-2}$$
Получим ответ: x = -1 + (-2)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 1$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -2$$
где
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = -1$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = -1$$
и
$$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{3} N + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{2} \sqrt{3}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} i}{2} \sqrt{3}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 1$$
$$x = z - 1$$

$$x_{1} = -1 + \sqrt[3]{-2}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

$$1^{3} + 2 > 0$$

3 > 0

зн. неравенство выполняется всегда

Быстрый ответ

   /               /     3      2         \    \
And\x < oo, CRootOf\3 + x  + 3*x  + 3*x, 0/ < x/

$$x < \infty \wedge \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 3, 0\right)} < x$$

Быстрый ответ 2

        /     3      2         \     
(CRootOf\3 + x  + 3*x  + 3*x, 0/, oo)

$$x \in \left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 3, 0\right)}, \infty\right)$$