x+6/x<7 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x+6/x<7 (множество решений неравенства)

Вы ввели

    6    
x + - < 7
    x    

$$x + \frac{6}{x} < 7$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x + \frac{6}{x} < 7$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x + \frac{6}{x} = 7$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x + \frac{6}{x} = 7$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и x
получим:
$$x \left(x + \frac{6}{x}\right) = 7 x$$
$$x^{2} + 6 = 7 x$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + 6 = 7 x$$
в
$$x^{2} - 7 x + 6 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -7$$
$$c = 6$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (1) * (6) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = 1$$
Данные корни
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$x + \frac{6}{x} < 7$$
$$\frac{9}{10} + \frac{6}{\frac{9}{10}} < 7$$

227    
--- < 7
 30    

но

227    
--- > 7
 30    

Тогда
$$x < 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 1 \wedge x < 6$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < 0), And(1 < x, x < 6))

$$\left(-\infty < x \wedge x < 0\right) \vee \left(1 < x \wedge x < 6\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, 0) U (1, 6)

$$x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left(1, 6\right)$$