Решение неравенств/ (x+3)*(x-k)<0

(x+3)*(x-k)<0 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x+3)*(x-k)<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    (x + 3)*(x - k) < 0
    $$\left(- k + x\right) \left(x + 3\right) < 0$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\left(- k + x\right) \left(x + 3\right) < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(- k + x\right) \left(x + 3\right) = 0$$
    Решаем:
    Раскроем выражение в уравнении
    $$\left(- k + x\right) \left(x + 3\right) = 0$$
    Получаем квадратное уравнение
    $$- k x - 3 k + x^{2} + 3 x = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = - k + 3$$
    $$c = - 3 k$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (3 - k)^2 - 4 * (1) * (-3*k) = (3 - k)^2 + 12*k

    Уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = \frac{k}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{12 k + \left(- k + 3\right)^{2}} - \frac{3}{2}$$
    $$x_{2} = \frac{k}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{12 k + \left(- k + 3\right)^{2}} - \frac{3}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{k}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{12 k + \left(- k + 3\right)^{2}} - \frac{3}{2}$$
    $$x_{2} = \frac{k}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{12 k + \left(- k + 3\right)^{2}} - \frac{3}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{k}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{12 k + \left(- k + 3\right)^{2}} - \frac{3}{2}$$
    $$x_{2} = \frac{k}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{12 k + \left(- k + 3\right)^{2}} - \frac{3}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{k}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{12 k + \left(- k + 3\right)^{2}} - \frac{3}{2}$$
    $$x_{2} = \frac{k}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{12 k + \left(- k + 3\right)^{2}} - \frac{3}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
                 _________________     
            /        2             
  3   k   \/  (3 - k)  + 12*k    1 
- - + - + -------------------- - --
  2   2            2             10

    =
    $$\frac{k}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{12 k + \left(- k + 3\right)^{2}} - \frac{8}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(- k + x\right) \left(x + 3\right) < 0$$
    /             _________________         \ /             _________________         \    
|            /        2                 | |            /        2                 |    
|  3   k   \/  (3 - k)  + 12*k    1     | |  3   k   \/  (3 - k)  + 12*k    1     |    
|- - + - + -------------------- - -- + 3|*|- - + - + -------------------- - -- - k| < 0
\  2   2            2             10    / \  2   2            2             10    /    

    /         _________________    \ /           _________________\    
|        /        2            | |          /        2        |    
|  8   \/  (3 - k)  + 12*k    k| |7   k   \/  (3 - k)  + 12*k | < 0
|- - + -------------------- - -|*|- + - + --------------------|    
\  5            2             2/ \5   2            2          /

    Тогда
    $$x < \frac{k}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{12 k + \left(- k + 3\right)^{2}} - \frac{3}{2}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > \frac{k}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{12 k + \left(- k + 3\right)^{2}} - \frac{3}{2} \wedge x < \frac{k}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{12 k + \left(- k + 3\right)^{2}} - \frac{3}{2}$$
             _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2