(x+y)^3>8 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x+y)^3>8 (множество решений неравенства)

Вы ввели

       3    
(x + y)  > 8

$$\left(x + y\right)^{3} > 8$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x + y\right)^{3} > 8$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + y\right)^{3} = 8$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left(x + y\right)^{3} = 8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(x + y\right)^{3}} = \sqrt[3]{8}$$
или
$$x + y = 2$$
Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

x + y = 2

Разделим обе части ур-ния на (x + y)/x

x = 2 / ((x + y)/x)

Получим ответ: x = 2 - y

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + y$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 8$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x + y$$
$$x = - y + z$$

$$x_{1} = - y + 2$$
$$x_{1} = - y + 2$$
Данные корни
$$x_{1} = - y + 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

2 - y - 1/10

=
$$- y + \frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + y\right)^{3} > 8$$

                  3    
(2 - y - 1/10 + y)  > 8

6859    
---- > 8
1000    

Тогда
$$x < - y + 2$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > - y + 2$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1