x^4>-1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^4>-1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 4     
x  > -1

$$x^{4} > -1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{4} > -1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{4} = -1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x^{4} = -1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (4 p \right )} + \cos{\left (4 p \right )} = -1$$
значит
$$\cos{\left (4 p \right )} = -1$$
и
$$\sin{\left (4 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

$$0^{4} > -1$$

0 > -1

зн. неравенство выполняется всегда

Быстрый ответ

Данное неравенство верно выполняется всегда