x^4>5 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^4>5 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 4    
x  > 5

$$x^{4} > 5$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{4} > 5$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{4} = 5$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x^{4} = 5$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{5}$$
$$\sqrt[4]{x^{4}} = -1 \sqrt[4]{5}$$
или
$$x = \sqrt[4]{5}$$
$$x = - \sqrt[4]{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 5^1/4

Получим ответ: x = 5^(1/4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -5^1/4

Получим ответ: x = -5^(1/4)
или
$$x_{1} = - \sqrt[4]{5}$$
$$x_{2} = \sqrt[4]{5}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 5$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 5$$
где
$$r = \sqrt[4]{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (4 p \right )} + \cos{\left (4 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (4 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (4 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[4]{5}$$
$$z_{2} = \sqrt[4]{5}$$
$$z_{3} = - \sqrt[4]{5} i$$
$$z_{4} = \sqrt[4]{5} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

$$x_{1} = \sqrt[4]{5}$$
$$x_{2} = - \sqrt[4]{5}$$
$$x_{1} = \sqrt[4]{5}$$
$$x_{2} = - \sqrt[4]{5}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \sqrt[4]{5}$$
$$x_{1} = \sqrt[4]{5}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

  4 ___   1 
- \/ 5  - --
          10

=
$$- \sqrt[4]{5} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{4} > 5$$

              4    
/  4 ___   1 \     
|- \/ 5  - --|  > 5
\          10/     

              4    
/  1    4 ___\     
|- -- - \/ 5 |  > 5
\  10        /     
    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \sqrt[4]{5}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \sqrt[4]{5}$$
$$x > \sqrt[4]{5}$$

Быстрый ответ

  /   /              4 ___\     /4 ___            \\
Or\And\-oo < x, x < -\/ 5 /, And\\/ 5  < x, x < oo//

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \sqrt[4]{5}\right) \vee \left(\sqrt[4]{5} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

       4 ___     4 ___     
(-oo, -\/ 5 ) U (\/ 5 , oo)

$$x \in \left(-\infty, - \sqrt[4]{5}\right) \cup \left(\sqrt[4]{5}, \infty\right)$$

График