x^2/(3)>=(3*x+3)/(4) (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^2/(3)>=(3*x+3)/(4) (множество решений неравенства)

Вы ввели

 2           
x     3*x + 3
-- >= -------
3        4   

$$\frac{x^{2}}{3} \geq \frac{1}{4} \left(3 x + 3\right)$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{x^{2}}{3} \geq \frac{1}{4} \left(3 x + 3\right)$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{x^{2}}{3} = \frac{1}{4} \left(3 x + 3\right)$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\frac{x^{2}}{3} = \frac{1}{4} \left(3 x + 3\right)$$
в
$$\frac{x^{2}}{3} - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\frac{x^{2}}{3} - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$\frac{x^{2}}{3} - \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = \frac{1}{3}$$
$$b = - \frac{3}{4}$$
$$c = - \frac{3}{4}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3/4)^2 - 4 * (1/3) * (-3/4) = 25/16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{3}{4}$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{3}{4}$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{3}{4}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{3}{4}$$
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{17}{20}$$
=
$$- \frac{17}{20}$$
подставляем в выражение
$$\frac{x^{2}}{3} \geq \frac{1}{4} \left(3 x + 3\right)$$
$$\frac{\left(- \frac{17}{20}\right)^{2}}{3} \geq \frac{1}{4} \left(\frac{-51}{20} 1 + 3\right)$$

289         
---- >= 9/80
1200        

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{3}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{3}{4}$$
$$x \geq 3$$

Быстрый ответ

Or(And(3 <= x, x < oo), And(x <= -3/4, -oo < x))

$$\left(3 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq - \frac{3}{4} \wedge -\infty < x\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -3/4] U [3, oo)

$$x \in \left(-\infty, - \frac{3}{4}\right] \cup \left[3, \infty\right)$$