x^2/3<3*x+3/4 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^2/3<3*x+3/4 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 2            
x             
-- < 3*x + 3/4
3             

$$\frac{x^{2}}{3} < 3 x + \frac{3}{4}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{x^{2}}{3} < 3 x + \frac{3}{4}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{x^{2}}{3} = 3 x + \frac{3}{4}$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\frac{x^{2}}{3} = 3 x + \frac{3}{4}$$
в
$$\frac{x^{2}}{3} - \left(3 x + \frac{3}{4}\right) = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\frac{x^{2}}{3} - \left(3 x + \frac{3}{4}\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$\frac{x^{2}}{3} - 3 x - \frac{3}{4} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = \frac{1}{3}$$
$$b = -3$$
$$c = - \frac{3}{4}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1/3) * (-3/4) = 10

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$
Упростить
$$x_{1} = \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{2}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{22}{5} - \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$
подставляем в выражение
$$\frac{x^{2}}{3} < 3 x + \frac{3}{4}$$
$$\frac{\left(\frac{22}{5} - \frac{3 \sqrt{10}}{2}\right)^{2}}{3} < 3 \cdot \left(\frac{22}{5} - \frac{3 \sqrt{10}}{2}\right) + \frac{3}{4}$$

               2                 
/         ____\              ____
|22   3*\/ 10 |    279   9*\/ 10 
|-- - --------|  < --- - --------
\5       2    /     20      2    
----------------   
       3                         

но

               2                 
/         ____\              ____
|22   3*\/ 10 |    279   9*\/ 10 
|-- - --------|  > --- - --------
\5       2    /     20      2    
----------------   
       3                         

Тогда
$$x < \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{2} \wedge x < \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{10}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1

Быстрый ответ

   /            ____          ____    \
   |    9   3*\/ 10   9   3*\/ 10     |
And|x < - + --------, - - -------- < x|
   \    2      2      2      2        /

$$x < \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{10}}{2} \wedge \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{2} < x$$

Быстрый ответ 2

         ____          ____ 
 9   3*\/ 10   9   3*\/ 10  
(- - --------, - + --------)
 2      2      2      2     

$$x\ in\ \left(\frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{2}, \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{10}}{2}\right)$$

График