(x^2-2*x-3)^2<=(x^2-3*x)^2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x^2-2*x-3)^2<=(x^2-3*x)^2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

              2              2
/ 2          \     / 2      \ 
\x  - 2*x - 3/  <= \x  - 3*x/ 

$$\left(x^{2} - 2 x - 3\right)^{2} \leq \left(x^{2} - 3 x\right)^{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x^{2} - 2 x - 3\right)^{2} \leq \left(x^{2} - 3 x\right)^{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x^{2} - 2 x - 3\right)^{2} = \left(x^{2} - 3 x\right)^{2}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x^{2} - 2 x - 3\right)^{2} = \left(x^{2} - 3 x\right)^{2}$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 1\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x - 3 = 0$$
$$2 x + 1 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x - 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 3$$
Получим ответ: x1 = 3
2.
$$2 x + 1 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$2 x = -1$$
Разделим обе части ур-ния на 2

x = -1 / (2)

Получим ответ: x2 = -1/2
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left(x^{2} - 2 x - 3\right)^{2} \leq \left(x^{2} - 3 x\right)^{2}$$

                    2                    2
/    2   2*(-3)    \     /    2   3*(-3)\ 
|-3/5  - ------ - 3|  <= |-3/5  - ------| 
\          5       /     \          5   / 

1296    2916
---- <= ----
625     625 

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{1}{2}$$
$$x \geq 3$$

Быстрый ответ

Or(And(x <= -1/2, -oo < x), x = 3)

$$\left(x \leq - \frac{1}{2} \wedge -\infty < x\right) \vee x = 3$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -1/2] U {3}

$$x \in \left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left\{3\right\}$$