x^2-3*x-1-(x^3+x^2+3*x-21)/x>=3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^2-3*x-1-(x^3+x^2+3*x-21)/x>=3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

                3    2                
 2             x  + x  + 3*x - 21     
x  - 3*x - 1 - ------------------ >= 3
                       x              

$$x^{2} - 3 x - 1 - \frac{x^{3} + x^{2} + 3 x - 21}{x} \geq 3$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{2} - 3 x - 1 - \frac{x^{3} + x^{2} + 3 x - 21}{x} \geq 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} - 3 x - 1 - \frac{x^{3} + x^{2} + 3 x - 21}{x} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x^{2} - 3 x - 1 - \frac{x^{3} + x^{2} + 3 x - 21}{x} = 3$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$- \frac{4 x^{2} + 7 x - 21}{x} = 0$$
знаменатель
$$x$$
тогда

x не равен 0

Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$- 4 x^{2} - 7 x + 21 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$- 4 x^{2} - 7 x + 21 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -4$$
$$b = -7$$
$$c = 21$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (-4) * (21) = 385

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{7}{8}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{7}{8} + \frac{\sqrt{385}}{8}$$
Упростить
но

x не равен 0

$$x_{1} = - \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{7}{8}$$
$$x_{2} = - \frac{7}{8} + \frac{\sqrt{385}}{8}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{7}{8}$$
$$x_{2} = - \frac{7}{8} + \frac{\sqrt{385}}{8}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{7}{8}$$
$$x_{2} = - \frac{7}{8} + \frac{\sqrt{385}}{8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{7}{8}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{39}{40}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} - 3 x - 1 - \frac{x^{3} + x^{2} + 3 x - 21}{x} \geq 3$$
$$- \frac{\left(- \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{39}{40}\right)^{3} - 21 + 3 \left(- \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{39}{40}\right) + \left(- \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{39}{40}\right)^{2}}{- \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{39}{40}} - 1 - 3 \left(- \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{39}{40}\right) + \left(- \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{39}{40}\right)^{2} \geq 3$$

                                                             2                   3                 
                                             /         _____\    /         _____\        _____     
                     2                 957   |  39   \/ 385 |    |  39   \/ 385 |    3*\/ 385      
     /         _____\        _____   - --- + |- -- - -------|  + |- -- - -------|  - ---------     
77   |  39   \/ 385 |    3*\/ 385       40   \  40      8   /    \  40      8   /        8         
-- + |- -- - -------|  + --------- - --------------------------------------------------------- >= 3
40   \  40      8   /        8                                      _____                          
                                                             39   \/ 385                           
                                                           - -- - -------                          
                                                             40      8                             
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{7}{8}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{7}{8}$$
$$x \geq - \frac{7}{8} + \frac{\sqrt{385}}{8}$$

Быстрый ответ

  /   /             _____         \     /             _____       \\
  |   |       7   \/ 385          |     |       7   \/ 385        ||
Or|And|x <= - - - -------, -oo < x|, And|x <= - - + -------, 0 < x||
  \   \       8      8            /     \       8      8          //

$$\left(x \leq - \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{7}{8} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(x \leq - \frac{7}{8} + \frac{\sqrt{385}}{8} \wedge 0 < x\right)$$

Быстрый ответ 2

              _____                _____ 
        7   \/ 385           7   \/ 385  
(-oo, - - - -------] U (0, - - + -------]
        8      8             8      8    

$$x\ in\ \left(-\infty, - \frac{\sqrt{385}}{8} - \frac{7}{8}\right] \cup \left(0, - \frac{7}{8} + \frac{\sqrt{385}}{8}\right]$$

График