(x^2-81)*(x+7)>=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x^2-81)*(x+7)>=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

/ 2     \             
\x  - 81/*(x + 7) >= 0

$$\left(x + 7\right) \left(x^{2} - 81\right) \geq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x + 7\right) \left(x^{2} - 81\right) \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 7\right) \left(x^{2} - 81\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x + 7\right) \left(x^{2} - 81\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x + 7 = 0$$
$$x^{2} - 81 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x + 7 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -7$$
Получим ответ: x1 = -7
2.
$$x^{2} - 81 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -81$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-81) = 324

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = 9$$
$$x_{3} = -9$$
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 9$$
$$x_{3} = -9$$
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 9$$
$$x_{3} = -9$$
Данные корни
$$x_{3} = -9$$
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 9$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{91}{10}$$
=
$$- \frac{91}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 7\right) \left(x^{2} - 81\right) \geq 0$$
$$\left(-81 + \left(- \frac{91}{10}\right)^{2}\right) \left(- \frac{91}{10} + 7\right) \geq 0$$

-3801      
------ >= 0
 1000      

но

-3801     
------ < 0
 1000     

Тогда
$$x \leq -9$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -9 \wedge x \leq -7$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x3      x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq -9 \wedge x \leq -7$$
$$x \geq 9$$

Быстрый ответ

Or(And(-9 <= x, x <= -7), And(9 <= x, x < oo))

$$\left(-9 \leq x \wedge x \leq -7\right) \vee \left(9 \leq x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

[-9, -7] U [9, oo)

$$x \in \left[-9, -7\right] \cup \left[9, \infty\right)$$

График