Решение неравенств/ x^2+y^2<=1

x^2+y^2<=1 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: x^2+y^2<=1 (множество решений неравенства)

    Виды выражений

    обычный калькулятор x^2+y^2<=1

    Решение

    Вы ввели [src]
     2    2     
x  + y  <= 1
    x2+y2≤1x^{2} + y^{2} \leq 1
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    x2+y2≤1x^{2} + y^{2} \leq 1
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1
    Решаем:
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1
    в
    x2+y2−1=0x^{2} + y^{2} - 1 = 0
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    x1=D−b2ax_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
    x2=−D−b2ax_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    a=1a = 1
    b=0b = 0
    c=y2−1c = y^{2} - 1
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (0)^2 - 4 * (1) * (-1 + y^2) = 4 - 4*y^2

    Уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    x1=12−4y2+4x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 4}
    x2=−12−4y2+4x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 4}
    x1=12−4y2+4x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 4}
    x2=−12−4y2+4x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 4}
    x1=12−4y2+4x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 4}
    x2=−12−4y2+4x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 4}
    Данные корни
    x1=12−4y2+4x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 4}
    x2=−12−4y2+4x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 4}
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
    Возьмём например точку
    x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
    =
       __________     
  /        2      
\/  4 - 4*y     1 
------------- - --
      2         10

    =
    12−4y2+4−110\frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 4} - \frac{1}{10}
    подставляем в выражение
    x2+y2≤1x^{2} + y^{2} \leq 1
                        2          
/   __________     \           
|  /        2      |           
|\/  4 - 4*y     1 |     2     
|------------- - --|  + y  <= 1
\      2         10/           

                               2     
     /          __________\      
     |         /        2 |      
 2   |  1    \/  4 - 4*y  |  <= 1
y  + |- -- + -------------|      
     \  10         2      /

    Тогда
    x≤12−4y2+4x \leq \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 4}
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    x≥12−4y2+4∧x≤−12−4y2+4x \geq \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 4} \wedge x \leq - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 4}
             _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2