x^log(x)<16 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^log(x)<16 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 log(x)     
x       < 16

$$x^{\log{\left (x \right )}} < 16$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{\log{\left (x \right )}} < 16$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{\log{\left (x \right )}} = 16$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x^{\log{\left (x \right )}} = 16$$
преобразуем
$$x^{\log{\left (x \right )}} - 16 = 0$$
$$x^{\log{\left (x \right )}} - 16 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (x \right )}$$
$$x^{w} - 16 = 0$$
или
$$x^{w} - 16 = 0$$
или
$$x^{w} = 16$$
или
$$x^{w} = 16$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = x^{w}$$
получим
$$v - 16 = 0$$
или
$$v - 16 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 16$$
Получим ответ: v = 16
делаем обратную замену
$$x^{w} = v$$
или
$$w = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (x \right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$w_{1} = \frac{\log{\left (16 \right )}}{\log{\left (x \right )}} = \frac{\log{\left (16 \right )}}{\log{\left (x \right )}}$$
делаем обратную замену
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\log{\left (x \right )} = w$$
$$\log{\left (x \right )} = w$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда

     w
     -
     1
x = e 

упрощаем
$$x = e^{w}$$
подставляем w:
$$x_{1} = e^{- \sqrt{\log{\left (16 \right )}}}$$
$$x_{2} = e^{\sqrt{\log{\left (16 \right )}}}$$
$$x_{1} = e^{- \sqrt{\log{\left (16 \right )}}}$$
$$x_{2} = e^{\sqrt{\log{\left (16 \right )}}}$$
Данные корни
$$x_{1} = e^{- \sqrt{\log{\left (16 \right )}}}$$
$$x_{2} = e^{\sqrt{\log{\left (16 \right )}}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

    _________     
 -\/ log(16)    1 
e             - --
                10

=
$$- \frac{1}{10} + e^{- \sqrt{\log{\left (16 \right )}}}$$
подставляем в выражение
$$x^{\log{\left (x \right )}} < 16$$

                       /    _________     \     
                       | -\/ log(16)    1 |     
                    log|e             - --|     
                       \                10/     
/    _________     \                            
| -\/ log(16)    1 |                            
|e             - --|                        < 16
\                10/                            

                         /           _________\     
                         |  1     -\/ log(16) |     
                      log|- -- + e            |     
                         \  10                /     
/           _________\                          < 16
|  1     -\/ log(16) |                              
|- -- + e            |                              
\  10                /                              
     

но

                         /           _________\     
                         |  1     -\/ log(16) |     
                      log|- -- + e            |     
                         \  10                /     
/           _________\                          > 16
|  1     -\/ log(16) |                              
|- -- + e            |                              
\  10                /                              
     

Тогда
$$x < e^{- \sqrt{\log{\left (16 \right )}}}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > e^{- \sqrt{\log{\left (16 \right )}}} \wedge x < e^{\sqrt{\log{\left (16 \right )}}}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /       _________      _________    \
   |     \/ log(16)    -\/ log(16)     |
And\x < e           , e             < x/

$$x < e^{\sqrt{\log{\left (16 \right )}}} \wedge e^{- \sqrt{\log{\left (16 \right )}}} < x$$

Быстрый ответ 2

     _________     _________ 
  -\/ log(16)    \/ log(16)  
(e            , e           )

$$x \in \left(e^{- \sqrt{\log{\left (16 \right )}}}, e^{\sqrt{\log{\left (16 \right )}}}\right)$$