x^5+x<1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^5+x<1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 5        
x  + x < 1

$$x^{5} + x < 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{5} + x < 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{5} + x = 1$$
Решаем:
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{3} + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}} + \frac{1}{9 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{3} + \frac{1}{9 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}$$
$$x_{5} = - \frac{1}{3} + \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + - \frac{1}{3} + \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}$$
=
$$- \frac{13}{30} + \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}$$
подставляем в выражение
$$x^{5} + x < 1$$
$$\left(- \frac{1}{10} + - \frac{1}{3} + \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}\right)^{5} + - \frac{1}{10} + - \frac{1}{3} + \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}} < 1$$

                                                                              5                           
            _____________   /            _____________                       \                            
           /        ____    |           /        ____                        |                            
  13      /  25   \/ 69     |  13      /  25   \/ 69              1          |             1              
- -- + 3 /   -- + ------  + |- -- + 3 /   -- + ------  + --------------------|  + --------------------    
  30   \/    54     18      |  30   \/    54     18             _____________|           _____________ < 1
                            |                                  /        ____ |          /        ____     
                            |                                 /  25   \/ 69  |         /  25   \/ 69      
                            |                            9*3 /   -- + ------ |    9*3 /   -- + ------     
                            \                              \/    54     18   /      \/    54     18       
    

значит решение неравенства будет при:
$$x < - \frac{1}{3} + \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /                    /      2    3   \\
And\-oo < x, x < CRootOf\-1 + x  + x , 0//

$$-\infty < x \wedge x < \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} + x^{2} - 1, 0\right)}$$

Быстрый ответ 2

             /      2    3   \ 
(-oo, CRootOf\-1 + x  + x , 0/)

$$x \in \left(-\infty, \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} + x^{2} - 1, 0\right)}\right)$$

График