x^3<8 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: x^3<8 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
     3    
    x  < 8
    x3<8x^{3} < 8
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    x3<8x^{3} < 8
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    x3=8x^{3} = 8
    Решаем:
    Дано уравнение
    x3=8x^{3} = 8
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    x33=83\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{8}
    или
    x=2x = 2
    Получим ответ: x = 2

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=xz = x
    тогда ур-ние будет таким:
    z3=8z^{3} = 8
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r3e3ip=8r^{3} e^{3 i p} = 8
    где
    r=2r = 2
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e3ip=1e^{3 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(3p)+cos(3p)=1i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1
    значит
    cos(3p)=1\cos{\left (3 p \right )} = 1
    и
    sin(3p)=0\sin{\left (3 p \right )} = 0
    тогда
    p=2π3Np = \frac{2 \pi}{3} N
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=2z_{1} = 2
    z2=13iz_{2} = -1 - \sqrt{3} i
    z3=1+3iz_{3} = -1 + \sqrt{3} i
    делаем обратную замену
    z=xz = x
    x=zx = z

    x1=2x_{1} = 2
    x1=2x_{1} = 2
    Данные корни
    x1=2x_{1} = 2
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0<x1x_{0} < x_{1}
    Возьмём например точку
    x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
    =
    1910\frac{19}{10}
    =
    1910\frac{19}{10}
    подставляем в выражение
    x3<8x^{3} < 8
    (1910)3<8\left(\frac{19}{10}\right)^{3} < 8
    6859    
    ---- < 8
    1000    

    значит решение неравенства будет при:
    x<2x < 2
     _____          
          \    
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    -5.0-4.0-3.0-2.0-1.00.01.02.03.04.05.0-250250
    Быстрый ответ [src]
    And(-oo < x, x < 2)
    <xx<2-\infty < x \wedge x < 2
    Быстрый ответ 2 [src]
    (-oo, 2)
    x(,2)x \in \left(-\infty, 2\right)