x^3-3>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^3-3>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 3        
x  - 3 > 0

$$x^{3} - 3 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{3} - 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{3} - 3 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x^{3} - 3 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{3}$$
или
$$x = \sqrt[3]{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 3^1/3

Получим ответ: x = 3^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 3$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 3$$
где
$$r = \sqrt[3]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{3}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

$$x_{1} = \sqrt[3]{3}$$
$$x_{1} = \sqrt[3]{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \sqrt[3]{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \sqrt[3]{3}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \sqrt[3]{3}$$
подставляем в выражение
$$x^{3} - 3 > 0$$
$$-3 + \left(- \frac{1}{10} + \sqrt[3]{3}\right)^{3} > 0$$

                   3    
     /  1    3 ___\     
-3 + |- -- + \/ 3 |  > 0
     \  10        /     
    

Тогда
$$x < \sqrt[3]{3}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \sqrt[3]{3}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /3 ___            \
And\\/ 3  < x, x < oo/

$$\sqrt[3]{3} < x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

 3 ___     
(\/ 3 , oo)

$$x \in \left(\sqrt[3]{3}, \infty\right)$$