x^3-x+1>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^3-x+1>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 3            
x  - x + 1 > 0

$$x^{3} - x + 1 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{3} - x + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{3} - x + 1 = 0$$
Решаем:
$$x_{1} = - \frac{1}{\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}} - \frac{1}{3} \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3} \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}} - \frac{1}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}} - \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}} - \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}} - \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

                              _______________     
                             /          ____      
                            /  27   3*\/ 69       
                         3 /   -- + --------      
           1             \/    2       2        1 
- -------------------- - -------------------- - --
       _______________            3             10
      /          ____                             
     /  27   3*\/ 69                              
  3 /   -- + --------                             
  \/    2       2                                 

=
$$- \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}} - \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{3} - x + 1 > 0$$

                                                    3                                                             
/                              _______________     \                                  _______________             
|                             /          ____      |                                 /          ____              
|                            /  27   3*\/ 69       |                                /  27   3*\/ 69               
|                         3 /   -- + --------      |                             3 /   -- + --------              
|           1             \/    2       2        1 |               1             \/    2       2        1         
|- -------------------- - -------------------- - --|  - - -------------------- - -------------------- - -- + 1 > 0
|       _______________            3             10|           _______________            3             10        
|      /          ____                             |          /          ____                                     
|     /  27   3*\/ 69                              |         /  27   3*\/ 69                                      
|  3 /   -- + --------                             |      3 /   -- + --------                                     
\  \/    2       2                                 /      \/    2       2                                         

                                                                                3                           
                            /                                   _______________\         _______________    
                            |                                  /          ____ |        /          ____     
                            |                                 /  27   3*\/ 69  |       /  27   3*\/ 69      
                            |                              3 /   -- + -------- |    3 /   -- + --------     
11            1             |  1             1             \/    2       2     |    \/    2       2         
-- + -------------------- + |- -- - -------------------- - --------------------|  + -------------------- > 0
10        _______________   |  10        _______________            3          |             3              
         /          ____    |           /          ____                        |                            
        /  27   3*\/ 69     |          /  27   3*\/ 69                         |                            
     3 /   -- + --------    |       3 /   -- + --------                        |                            
     \/    2       2        \       \/    2       2                            /                            
    

Тогда
$$x < - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}} - \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > - \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}} - \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /               /     3       \    \
And\x < oo, CRootOf\1 + x  - x, 0/ < x/

$$x < \infty \wedge \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - x + 1, 0\right)} < x$$

Быстрый ответ 2

        /     3       \     
(CRootOf\1 + x  - x, 0/, oo)

$$x \in \left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - x + 1, 0\right)}, \infty\right)$$

График