6*sin(x)^2-sin(x)-1<=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 6*sin(x)^2-sin(x)-1<=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
         2                     
    6*sin (x) - sin(x) - 1 <= 0
    $$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 \leq 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 \leq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
    преобразуем
    $$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
    $$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \sin{\left (x \right )}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 6$$
    $$b = -1$$
    $$c = -1$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-1)^2 - 4 * (6) * (-1) = 25

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = \frac{1}{2}$$
    $$w_{2} = - \frac{1}{3}$$
    делаем обратную замену
    $$\sin{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (x \right )} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
    Или
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{3} \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{3} \right )} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
    $$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
    $$x_{3} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
    $$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
    $$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
    $$x_{3} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
    $$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
    Данные корни
    $$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
    $$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
    $$x_{3} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{4}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{4} - \frac{1}{10}$$
    =
    -asin(1/3) - 1/10

    =
    $$- \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 \leq 0$$
         2                                                     
    6*sin (-asin(1/3) - 1/10) - sin(-asin(1/3) - 1/10) - 1 <= 0

              2                                               
    -1 + 6*sin (1/10 + asin(1/3)) + sin(1/10 + asin(1/3)) <= 0
         

    но
              2                                               
    -1 + 6*sin (1/10 + asin(1/3)) + sin(1/10 + asin(1/3)) >= 0
         

    Тогда
    $$x \leq - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$
             _____           _____  
            /     \         /     \  
    -------•-------•-------•-------•-------
           x4      x1      x2      x3

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \geq - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$
    $$x \geq \frac{5 \pi}{6} \wedge x \leq \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
      /   /5*pi                          \     /     pi                 \\
    Or|And|---- <= x, x <= pi + asin(1/3)|, And|x <= --, -asin(1/3) <= x||
      \   \ 6                            /     \     6                  //
    $$\left(\frac{5 \pi}{6} \leq x \wedge x \leq \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi\right) \vee \left(x \leq \frac{\pi}{6} \wedge - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} \leq x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
                 pi     5*pi                 
    [-asin(1/3), --] U [----, pi + asin(1/3)]
                 6       6                   
    $$x \in \left[- \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi\right]$$