6*sin(x)^2-sin(x)-1<=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 6*sin(x)^2-sin(x)-1<=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[LaTeX]

     2                     
6*sin (x) - sin(x) - 1 <= 0

$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 \leq 0$$

Подробное решение

[LaTeX]

Дано неравенство:
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
преобразуем
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 6$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (6) * (-1) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{1}{3}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
Данные корни
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{4}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{4} - \frac{1}{10}$$
=

-asin(1/3) - 1/10

=
$$- \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$6 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 1 \leq 0$$

     2                                                     
6*sin (-asin(1/3) - 1/10) - sin(-asin(1/3) - 1/10) - 1 <= 0

          2                                               
-1 + 6*sin (1/10 + asin(1/3)) + sin(1/10 + asin(1/3)) <= 0
     

но

          2                                               
-1 + 6*sin (1/10 + asin(1/3)) + sin(1/10 + asin(1/3)) >= 0
     

Тогда
$$x \leq - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x4      x1      x2      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$
$$x \geq \frac{5 \pi}{6} \wedge x \leq \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

  /   /5*pi                          \     /     pi                 \\
Or|And|---- <= x, x <= pi + asin(1/3)|, And|x <= --, -asin(1/3) <= x||
  \   \ 6                            /     \     6                  //

$$\left(\frac{5 \pi}{6} \leq x \wedge x \leq \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi\right) \vee \left(x \leq \frac{\pi}{6} \wedge - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} \leq x\right)$$

Быстрый ответ 2

[LaTeX]

             pi     5*pi                 
[-asin(1/3), --] U [----, pi + asin(1/3)]
             6       6                   

$$x \in \left[- \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi\right]$$