6*sin(x)^2-sin(x)-1<=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 6*sin(x)^2-sin(x)-1<=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

     2                     
6*sin (x) - sin(x) - 1 <= 0

$$\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 \leq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
преобразуем
$$6 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\left(\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 6$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (6) * (-1) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{1}{3}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
Данные корни
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{4}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 1 \leq 0$$

     2                                                     
6*sin (-1/10 - asin(1/3)) - sin(-1/10 - asin(1/3)) - 1 <= 0

          2                                               
-1 + 6*sin (1/10 + asin(1/3)) + sin(1/10 + asin(1/3)) <= 0
     

но

          2                                               
-1 + 6*sin (1/10 + asin(1/3)) + sin(1/10 + asin(1/3)) >= 0
     

Тогда
$$x \leq - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x4      x1      x2      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$
$$x \geq \frac{5 \pi}{6} \wedge x \leq \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$

Быстрый ответ

  /                         /                         /  ___\\     /      /  ___\                      \\
  |   /             pi\     |5*pi                     |\/ 2 ||     |      |\/ 2 |                      ||
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x <= pi + atan|-----||, And|- atan|-----| + 2*pi <= x, x < 2*pi||
  \   \             6 /     \ 6                       \  4  //     \      \  4  /                      //

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{6}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{6} \leq x \wedge x \leq \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + \pi\right) \vee \left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi \leq x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

                          /  ___\           /  ___\              
    pi     5*pi           |\/ 2 |           |\/ 2 |              
[0, --] U [----, pi + atan|-----|] U [- atan|-----| + 2*pi, 2*pi)
    6       6             \  4  /           \  4  /              

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + \pi\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi, 2 \pi\right)$$

График