x^2-2*x-5>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^2-2*x-5>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

 2              
x  - 2*x - 5 > 0

$$x^{2} - 2 x - 5 > 0$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$x^{2} - 2 x - 5 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} - 2 x - 5 = 0$$
Решаем:
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = -5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (-5) = 24

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 1 + \sqrt{6}$$
$$x_{2} = - \sqrt{6} + 1$$
$$x_{1} = 1 + \sqrt{6}$$
$$x_{2} = - \sqrt{6} + 1$$
$$x_{1} = 1 + \sqrt{6}$$
$$x_{2} = - \sqrt{6} + 1$$
Данные корни
$$x_{2} = - \sqrt{6} + 1$$
$$x_{1} = 1 + \sqrt{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

      ___   1 
1 - \/ 6  - --
            10

=
$$- \sqrt{6} + \frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} - 2 x - 5 > 0$$

                2                             
/      ___   1 \      /      ___   1 \        
|1 - \/ 6  - --|  - 2*|1 - \/ 6  - --| - 5 > 0
\            10/      \            10/        

                   2              
  34   /9      ___\        ___    
- -- + |-- - \/ 6 |  + 2*\/ 6  > 0
  5    \10        /               
    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \sqrt{6} + 1$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \sqrt{6} + 1$$
$$x > 1 + \sqrt{6}$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  /   /                   ___\     /              ___    \\
Or\And\-oo < x, x < 1 - \/ 6 /, And\x < oo, 1 + \/ 6  < x//

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \sqrt{6} + 1\right) \vee \left(x < \infty \wedge 1 + \sqrt{6} < x\right)$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

            ___           ___     
(-oo, 1 - \/ 6 ) U (1 + \/ 6 , oo)

$$x \in \left(-\infty, - \sqrt{6} + 1\right) \cup \left(1 + \sqrt{6}, \infty\right)$$