(10*x-1)*(x+2)*(7*x-4)*(7*x+5)<0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (10*x-1)*(x+2)*(7*x-4)*(7*x+5)<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (10*x - 1)*(x + 2)*(7*x - 4)*(7*x + 5) < 0
    $$\left(x + 2\right) \left(10 x - 1\right) \left(7 x - 4\right) \left(7 x + 5\right) < 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(x + 2\right) \left(10 x - 1\right) \left(7 x - 4\right) \left(7 x + 5\right) < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(x + 2\right) \left(10 x - 1\right) \left(7 x - 4\right) \left(7 x + 5\right) = 0$$
    Решаем:
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = - \frac{5}{7}$$
    $$x_{3} = \frac{1}{10}$$
    $$x_{4} = \frac{4}{7}$$
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = - \frac{5}{7}$$
    $$x_{3} = \frac{1}{10}$$
    $$x_{4} = \frac{4}{7}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = - \frac{5}{7}$$
    $$x_{3} = \frac{1}{10}$$
    $$x_{4} = \frac{4}{7}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(x + 2\right) \left(10 x - 1\right) \left(7 x - 4\right) \left(7 x + 5\right) < 0$$
    $$\left(- \frac{21}{10} + 2\right) \left(\frac{-210}{10} 1 - 1\right) \left(\frac{-147}{10} 1 - 4\right) \left(\frac{-147}{10} 1 + 5\right) < 0$$
    199529    
    ------ < 0
     500      

    но
    199529    
    ------ > 0
     500      

    Тогда
    $$x < -2$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > -2 \wedge x < - \frac{5}{7}$$
             _____           _____  
            /     \         /     \  
    -------ο-------ο-------ο-------ο-------
           x1      x2      x3      x4

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > -2 \wedge x < - \frac{5}{7}$$
    $$x > \frac{1}{10} \wedge x < \frac{4}{7}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-2 < x, x < -5/7), And(1/10 < x, x < 4/7))
    $$\left(-2 < x \wedge x < - \frac{5}{7}\right) \vee \left(\frac{1}{10} < x \wedge x < \frac{4}{7}\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-2, -5/7) U (1/10, 4/7)
    $$x \in \left(-2, - \frac{5}{7}\right) \cup \left(\frac{1}{10}, \frac{4}{7}\right)$$