(49*x+59)^2*(31*x+37)^3*(41*x+49)>0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (49*x+59)^2*(31*x+37)^3*(41*x+49)>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
               2            3                
    (49*x + 59) *(31*x + 37) *(41*x + 49) > 0
    $$\left(31 x + 37\right)^{3} \left(49 x + 59\right)^{2} \left(41 x + 49\right) > 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(31 x + 37\right)^{3} \left(49 x + 59\right)^{2} \left(41 x + 49\right) > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(31 x + 37\right)^{3} \left(49 x + 59\right)^{2} \left(41 x + 49\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(31 x + 37\right)^{3} \left(49 x + 59\right)^{2} \left(41 x + 49\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$41 x + 49 = 0$$
    $$31 x + 37 = 0$$
    $$49 x + 59 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$41 x + 49 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$41 x = -49$$
    Разделим обе части ур-ния на 41
    x = -49 / (41)

    Получим ответ: x1 = -49/41
    2.
    $$31 x + 37 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$31 x = -37$$
    Разделим обе части ур-ния на 31
    x = -37 / (31)

    Получим ответ: x2 = -37/31
    3.
    $$49 x + 59 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$49 x = -59$$
    Разделим обе части ур-ния на 49
    x = -59 / (49)

    Получим ответ: x3 = -59/49
    $$x_{1} = - \frac{49}{41}$$
    $$x_{2} = - \frac{37}{31}$$
    $$x_{3} = - \frac{59}{49}$$
    $$x_{1} = - \frac{49}{41}$$
    $$x_{2} = - \frac{37}{31}$$
    $$x_{3} = - \frac{59}{49}$$
    Данные корни
    $$x_{3} = - \frac{59}{49}$$
    $$x_{1} = - \frac{49}{41}$$
    $$x_{2} = - \frac{37}{31}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{3}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{639}{490}$$
    =
    $$- \frac{639}{490}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(31 x + 37\right)^{3} \left(49 x + 59\right)^{2} \left(41 x + 49\right) > 0$$
    $$\left(\frac{-19809}{490} 1 + 37\right)^{3} \left(\frac{-31311}{490} 1 + 59\right)^{2} \left(\frac{-26199}{490} 1 + 49\right) > 0$$
    10360908777571    
    -------------- > 0
      2401000000      

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \frac{59}{49}$$
     _____           _____          
          \         /     \    
    -------ο-------ο-------ο-------
           x3      x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \frac{59}{49}$$
    $$x > - \frac{49}{41} \wedge x < - \frac{37}{31}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /             -59 \     /-59           -49 \     /-37             \\
    Or|And|-oo < x, x < ----|, And|---- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
      \   \              49 /     \ 49            41 /     \ 31             //
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{59}{49}\right) \vee \left(- \frac{59}{49} < x \wedge x < - \frac{49}{41}\right) \vee \left(- \frac{37}{31} < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
          -59      -59   -49      -37      
    (-oo, ----) U (----, ----) U (----, oo)
           49       49    41       31      
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{59}{49}\right) \cup \left(- \frac{59}{49}, - \frac{49}{41}\right) \cup \left(- \frac{37}{31}, \infty\right)$$