(49*x+59)^2*(31*x+37)^3*(41*x+49)>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (49*x+59)^2*(31*x+37)^3*(41*x+49)>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

           2            3                
(49*x + 59) *(31*x + 37) *(41*x + 49) > 0

$$\left(31 x + 37\right)^{3} \left(49 x + 59\right)^{2} \left(41 x + 49\right) > 0$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$\left(31 x + 37\right)^{3} \left(49 x + 59\right)^{2} \left(41 x + 49\right) > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(31 x + 37\right)^{3} \left(49 x + 59\right)^{2} \left(41 x + 49\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(31 x + 37\right)^{3} \left(49 x + 59\right)^{2} \left(41 x + 49\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$41 x + 49 = 0$$
$$31 x + 37 = 0$$
$$49 x + 59 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$41 x + 49 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$41 x = -49$$
Разделим обе части ур-ния на 41

x = -49 / (41)

Получим ответ: x1 = -49/41
2.
$$31 x + 37 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$31 x = -37$$
Разделим обе части ур-ния на 31

x = -37 / (31)

Получим ответ: x2 = -37/31
3.
$$49 x + 59 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$49 x = -59$$
Разделим обе части ур-ния на 49

x = -59 / (49)

Получим ответ: x3 = -59/49
$$x_{1} = - \frac{49}{41}$$
$$x_{2} = - \frac{37}{31}$$
$$x_{3} = - \frac{59}{49}$$
$$x_{1} = - \frac{49}{41}$$
$$x_{2} = - \frac{37}{31}$$
$$x_{3} = - \frac{59}{49}$$
Данные корни
$$x_{3} = - \frac{59}{49}$$
$$x_{1} = - \frac{49}{41}$$
$$x_{2} = - \frac{37}{31}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{639}{490}$$
=
$$- \frac{639}{490}$$
подставляем в выражение
$$\left(31 x + 37\right)^{3} \left(49 x + 59\right)^{2} \left(41 x + 49\right) > 0$$
$$\left(\frac{-19809}{490} 1 + 37\right)^{3} \left(\frac{-31311}{490} 1 + 59\right)^{2} \left(\frac{-26199}{490} 1 + 49\right) > 0$$

10360908777571    
-------------- > 0
  2401000000      

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{59}{49}$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{59}{49}$$
$$x > - \frac{49}{41} \wedge x < - \frac{37}{31}$$

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

  /   /             -59 \     /-59           -49 \     /-37             \\
Or|And|-oo < x, x < ----|, And|---- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
  \   \              49 /     \ 49            41 /     \ 31             //

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{59}{49}\right) \vee \left(- \frac{59}{49} < x \wedge x < - \frac{49}{41}\right) \vee \left(- \frac{37}{31} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

      -59      -59   -49      -37      
(-oo, ----) U (----, ----) U (----, oo)
       49       49    41       31      

$$x \in \left(-\infty, - \frac{59}{49}\right) \cup \left(- \frac{59}{49}, - \frac{49}{41}\right) \cup \left(- \frac{37}{31}, \infty\right)$$