1/(3^x+5)>=1/(3^(x+1)-1) (неравенство)

Укажите решение неравенства: 1/(3^x+5)>=1/(3^(x+1)-1) (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  1           1     
------ >= ----------
 x         x + 1    
3  + 5    3      - 1

$$\frac{1}{3^{x} + 5} \geq \frac{1}{3^{x + 1} - 1}$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$\frac{1}{3^{x} + 5} \geq \frac{1}{3^{x + 1} - 1}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{1}{3^{x} + 5} = \frac{1}{3^{x + 1} - 1}$$
Решаем:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{1}{3^{x} + 5} \geq \frac{1}{3^{x + 1} - 1}$$
$$\frac{1}{3^{\frac{9}{10}} + 5} \geq \frac{1}{-1 + 3^{\frac{9}{10} + 1}}$$

    1             1      
---------    ------------
     9/10 >=         9/10
5 + 3        -1 + 3*3    
    

но

    1            1      
---------   ------------
     9/10 <         9/10
5 + 3       -1 + 3*3    
   

Тогда
$$x \leq 1$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq 1$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

Or(And(1 <= x, x < oo), And(-oo < x, x < -1))

$$\left(1 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(-\infty < x \wedge x < -1\right)$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

(-oo, -1) U [1, oo)

$$x \in \left(-\infty, -1\right) \cup \left[1, \infty\right)$$