Подробное решение
Дано неравенство:
$$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{\left(x - 6\right)^{2} \left(x - 2\right)} < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{\left(x - 6\right)^{2} \left(x - 2\right)} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{\left(x - 6\right)^{2} \left(x - 2\right)} = 0$$
знаменатель
$$x - 6$$
тогда
x не равен 6
знаменатель
$$x - 2$$
тогда
x не равен 2
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x^{2} - 3 x - 18 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
3.
$$x^{2} - 3 x - 18 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = -18$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-3)^2 - 4 * (1) * (-18) = 81
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = -3$$
но
x не равен 6
x не равен 2
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = -3$$
Данные корни
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{\left(x - 6\right)^{2} \left(x - 2\right)} < 0$$
2
/-31 \ 3*(-31)
|----| - ------- - 18
\ 10 / 10
------------------------- < 0
1
/ 2 \
|/ 31 \ / 31 \|
||- -- - 6| *|- -- - 2||
\\ 10 / \ 10 //
-10
---- < 0
4641
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -3$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x2 x1
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -3$$
$$x > 6$$