(x^2-3*x-18)/((x-6)^2*(x-2))<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (x^2-3*x-18)/((x-6)^2*(x-2))<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

  2                 
 x  - 3*x - 18      
---------------- < 0
       2            
(x - 6) *(x - 2)    

$$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{\left(x - 6\right)^{2} \left(x - 2\right)} < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{\left(x - 6\right)^{2} \left(x - 2\right)} < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{\left(x - 6\right)^{2} \left(x - 2\right)} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{\left(x - 6\right)^{2} \left(x - 2\right)} = 0$$
знаменатель
$$x - 6$$
тогда

x не равен 6

знаменатель
$$x - 2$$
тогда

x не равен 2

Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x^{2} - 3 x - 18 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
3.
$$x^{2} - 3 x - 18 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = -18$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (-18) = 81

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = -3$$
но

x не равен 6

x не равен 2

$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = -3$$
Данные корни
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{\left(x - 6\right)^{2} \left(x - 2\right)} < 0$$

        2                    
  /-31 \    3*(-31)          
  |----|  - ------- - 18     
  \ 10 /       10            
------------------------- < 0
                        1    
/          2           \     
|/  31    \  /  31    \|     
||- -- - 6| *|- -- - 2||     
\\  10    /  \  10    //     

-10     
---- < 0
4641    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -3$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -3$$
$$x > 6$$

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < -3), And(2 < x, x < 6))

$$\left(-\infty < x \wedge x < -3\right) \vee \left(2 < x \wedge x < 6\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -3) U (2, 6)

$$x \in \left(-\infty, -3\right) \cup \left(2, 6\right)$$

График