x^2+9*x>=3 (неравенство)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: x^2+9*x>=3 (множество решений неравенства)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2 x + 9*x >= 3
$$x^{2} + 9 x \geq 3$$
Подробное решение
[TeX]
Дано неравенство:
$$x^{2} + 9 x \geq 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + 9 x = 3$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$x^{2} + 9 x = 3$$
в
$$x^{2} + 9 x - 3 = 0$$
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 9$$
$$c = -3$$
, то
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
или
$$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
=
$$- \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{23}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + 9 x \geq 3$$
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
$$x \geq - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
$$x^{2} + 9 x \geq 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + 9 x = 3$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
$$x^{2} + 9 x = 3$$
в
$$x^{2} + 9 x - 3 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 9$$
$$c = -3$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(9)^2 - 4 * (1) * (-3) = 93
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
____ 9 \/ 93 1 - - - ------ - -- 2 2 10
=
$$- \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{23}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + 9 x \geq 3$$
2 / ____ \ / ____ \ | 9 \/ 93 1 | | 9 \/ 93 1 | |- - - ------ - --| + 9*|- - - ------ - --| >= 3 \ 2 2 10/ \ 2 2 10/
2
/ ____\ ____
207 | 23 \/ 93 | 9*\/ 93 >= 3
- --- + |- -- - ------| - --------
5 \ 5 2 / 2 значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
_____ _____
\ /
-------•-------•-------
x2 x1Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
$$x \geq - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ
[TeX]
[pretty]
[text]
/ / ____ \ / ____ \\ | | 9 \/ 93 | | 9 \/ 93 || Or|And|x <= - - - ------, -oo < x|, And|- - + ------ <= x, x < oo|| \ \ 2 2 / \ 2 2 //
$$\left(x \leq - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(- \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
Быстрый ответ 2
[TeX]
[pretty]
[text]
____ ____
9 \/ 93 9 \/ 93
(-oo, - - - ------] U [- - + ------, oo)
2 2 2 2
$$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}\right] \cup \left[- \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}, \infty\right)$$