x^2+9*x>=3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^2+9*x>=3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 2           
x  + 9*x >= 3

$$x^{2} + 9 x \geq 3$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{2} + 9 x \geq 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + 9 x = 3$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + 9 x = 3$$
в
$$\left(x^{2} + 9 x\right) - 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 9$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(9)^2 - 4 * (1) * (-3) = 93

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
Упростить
$$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{23}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + 9 x \geq 3$$
$$9 \left(- \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{23}{5}\right) + \left(- \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{23}{5}\right)^{2} \geq 3$$

                       2                
        /         ____\        ____     
  207   |  23   \/ 93 |    9*\/ 93  >= 3
- --- + |- -- - ------|  - --------     
   5    \  5      2   /       2         

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
$$x \geq - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /             ____         \     /        ____             \\
  |   |       9   \/ 93          |     |  9   \/ 93              ||
Or|And|x <= - - - ------, -oo < x|, And|- - + ------ <= x, x < oo||
  \   \       2     2            /     \  2     2                //

$$\left(x \leq - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(- \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2} \leq x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

              ____             ____     
        9   \/ 93        9   \/ 93      
(-oo, - - - ------] U [- - + ------, oo)
        2     2          2     2        

$$x\ in\ \left(-\infty, - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}\right] \cup \left[- \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}, \infty\right)$$

График