x^2+9*x>=3 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: x^2+9*x>=3 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     2           
    x  + 9*x >= 3
    $$x^{2} + 9 x \geq 3$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$x^{2} + 9 x \geq 3$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$x^{2} + 9 x = 3$$
    Решаем:
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$x^{2} + 9 x = 3$$
    в
    $$x^{2} + 9 x - 3 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = 9$$
    $$c = -3$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (9)^2 - 4 * (1) * (-3) = 93

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
    $$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
    $$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
    $$x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
            ____     
      9   \/ 93    1 
    - - - ------ - --
      2     2      10

    =
    $$- \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{23}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$x^{2} + 9 x \geq 3$$
                       2                             
    /        ____     \      /        ____     \     
    |  9   \/ 93    1 |      |  9   \/ 93    1 |     
    |- - - ------ - --|  + 9*|- - - ------ - --| >= 3
    \  2     2      10/      \  2     2      10/     

                           2                
            /         ____\        ____     
      207   |  23   \/ 93 |    9*\/ 93  >= 3
    - --- + |- -- - ------|  - --------     
       5    \  5      2   /       2         

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}$$
    $$x \geq - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /             ____         \     /        ____             \\
      |   |       9   \/ 93          |     |  9   \/ 93              ||
    Or|And|x <= - - - ------, -oo < x|, And|- - + ------ <= x, x < oo||
      \   \       2     2            /     \  2     2                //
    $$\left(x \leq - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(- \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                  ____             ____     
            9   \/ 93        9   \/ 93      
    (-oo, - - - ------] U [- - + ------, oo)
            2     2          2     2        
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{93}}{2} - \frac{9}{2}\right] \cup \left[- \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{93}}{2}, \infty\right)$$