4^(2*x)+4-4*4^x>0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 4^(2*x)+4-4*4^x>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     2*x          x    
    4    + 4 - 4*4  > 0
    $$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 > 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 = 0$$
    или
    $$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = 4^{x}$$
    получим
    $$v^{2} - 4 v + 4 = 0$$
    или
    $$v^{2} - 4 v + 4 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -4$$
    $$c = 4$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-4)^2 - 4 * (1) * (4) = 0

    Т.к. D = 0, то корень всего один.
    v = -b/2a = --4/2/(1)

    $$v_{1} = 2$$
    делаем обратную замену
    $$4^{x} = v$$
    или
    $$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (4 \right )}}$$
    $$x_{1} = 2$$
    $$x_{1} = 2$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{19}{10}$$
    =
    $$\frac{19}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 > 0$$
     2*19          19    
     ----          --    
      10           10    
    4     + 4 - 4*4   > 0

            4/5        3/5    
    4 - 32*2    + 128*2    > 0
        

    значит решение неравенства будет при:
    $$x < 2$$
     _____          
          \    
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-oo < x, x < 1/2), And(1/2 < x, x < oo))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < \frac{1}{2}\right) \vee \left(\frac{1}{2} < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, 1/2) U (1/2, oo)
    $$x \in \left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, \infty\right)$$