4^(2*x)+4-4*4^x>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4^(2*x)+4-4*4^x>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 2*x          x    
4    + 4 - 4*4  > 0

$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 = 0$$
или
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v^{2} - 4 v + 4 = 0$$
или
$$v^{2} - 4 v + 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (4) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

v = -b/2a = --4/2/(1)

$$v_{1} = 2$$
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (4 \right )}}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 > 0$$

 2*19          19    
 ----          --    
  10           10    
4     + 4 - 4*4   > 0

        4/5        3/5    
4 - 32*2    + 128*2    > 0
    

значит решение неравенства будет при:
$$x < 2$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < 1/2), And(1/2 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < \frac{1}{2}\right) \vee \left(\frac{1}{2} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, 1/2) U (1/2, oo)

$$x \in \left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, \infty\right)$$