4^(2*x)+4-4*4^x>0 (неравенство)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: 4^(2*x)+4-4*4^x>0 (множество решений неравенства)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
2*x x 4 + 4 - 4*4 > 0
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 > 0$$
Подробное решение
[TeX]
Дано неравенство:
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 = 0$$
или
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v^{2} - 4 v + 4 = 0$$
или
$$v^{2} - 4 v + 4 = 0$$
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 4$$
, то
Т.к. D = 0, то корень всего один.
$$v_{1} = 2$$
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (4 \right )}}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 > 0$$
значит решение неравенства будет при:
$$x < 2$$
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 = 0$$
или
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v^{2} - 4 v + 4 = 0$$
или
$$v^{2} - 4 v + 4 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 4$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-4)^2 - 4 * (1) * (4) = 0
Т.к. D = 0, то корень всего один.
v = -b/2a = --4/2/(1)
$$v_{1} = 2$$
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (4 \right )}}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 4 \cdot 4^{x} + 4^{2 x} + 4 > 0$$
2*19 19 ---- -- 10 10 4 + 4 - 4*4 > 0
4/5 3/5
4 - 32*2 + 128*2 > 0
значит решение неравенства будет при:
$$x < 2$$
_____
\
-------ο-------
x1
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ
[TeX]
[pretty]
[text]
Or(And(-oo < x, x < 1/2), And(1/2 < x, x < oo))
$$\left(-\infty < x \wedge x < \frac{1}{2}\right) \vee \left(\frac{1}{2} < x \wedge x < \infty\right)$$
Быстрый ответ 2
[TeX]
[pretty]
[text]
(-oo, 1/2) U (1/2, oo)
$$x \in \left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, \infty\right)$$