x^2+2*|x-1|+7<=4*|x-2| (неравенство)

 2                             
x  + 2*|x - 1| + 7 <= 4*|x - 2|

$$x^{2} + 2 \left|{x - 1}\right| + 7 \leq 4 \left|{x - 2}\right|$$

Дано неравенство:
$$x^{2} + 2 \left|{x - 1}\right| + 7 \leq 4 \left|{x - 2}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + 2 \left|{x - 1}\right| + 7 = 4 \left|{x - 2}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x - 2 \geq 0$$
$$x - 1 \geq 0$$
или
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$x^{2} - 4 \left(x - 2\right) + 2 \left(x - 1\right) + 7 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} - 2 x + 13 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 1 - 2 \sqrt{3} i$$
но x1 не удовлетворяет неравенству
$$x_{2} = 1 + 2 \sqrt{3} i$$
но x2 не удовлетворяет неравенству

2.
$$x - 2 \geq 0$$
$$x - 1 < 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

3.
$$x - 2 < 0$$
$$x - 1 \geq 0$$
или
$$1 \leq x \wedge x < 2$$
получаем ур-ние
$$x^{2} - 4 \left(- x + 2\right) + 2 \left(x - 1\right) + 7 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} + 6 x - 3 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = -3 + 2 \sqrt{3}$$
но x3 не удовлетворяет неравенству
$$x_{4} = - 2 \sqrt{3} - 3$$
но x4 не удовлетворяет неравенству

4.
$$x - 2 < 0$$
$$x - 1 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 1$$
получаем ур-ние
$$x^{2} + 2 \left(- x + 1\right) - 4 \left(- x + 2\right) + 7 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} + 2 x + 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{5} = -1$$


$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + 2 \left|{x - 1}\right| + 7 \leq 4 \left|{x - 2}\right|$$
$$\left(- \frac{11}{10}\right)^{2} + 2 \left|{- \frac{11}{10} - 1}\right| + 7 \leq 4 \left|{-2 - \frac{11}{10}}\right|$$

1241        
---- <= 62/5
100         

но

1241        
---- >= 62/5
100         

Тогда
$$x \leq -1$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq -1$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1

x = -1

$$x = -1$$

{-1}

$$x \in \left\{-1\right\}$$