x^2+2*|x-1|+7<=4*|x-2| (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: x^2+2*|x-1|+7<=4*|x-2| (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     2                             
    x  + 2*|x - 1| + 7 <= 4*|x - 2|
    $$x^{2} + 2 \left|{x - 1}\right| + 7 \leq 4 \left|{x - 2}\right|$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$x^{2} + 2 \left|{x - 1}\right| + 7 \leq 4 \left|{x - 2}\right|$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$x^{2} + 2 \left|{x - 1}\right| + 7 = 4 \left|{x - 2}\right|$$
    Решаем:
    Для каждого выражения под модулем в ур-нии
    допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
    решаем получившиеся ур-ния.

    1.
    $$x - 2 \geq 0$$
    $$x - 1 \geq 0$$
    или
    $$2 \leq x \wedge x < \infty$$
    получаем ур-ние
    $$x^{2} - 4 \left(x - 2\right) + 2 \left(x - 1\right) + 7 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$x^{2} - 2 x + 13 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{1} = 1 - 2 \sqrt{3} i$$
    но x1 не удовлетворяет неравенству
    $$x_{2} = 1 + 2 \sqrt{3} i$$
    но x2 не удовлетворяет неравенству

    2.
    $$x - 2 \geq 0$$
    $$x - 1 < 0$$
    Неравенства не выполняются, пропускаем

    3.
    $$x - 2 < 0$$
    $$x - 1 \geq 0$$
    или
    $$1 \leq x \wedge x < 2$$
    получаем ур-ние
    $$x^{2} - 4 \left(- x + 2\right) + 2 \left(x - 1\right) + 7 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$x^{2} + 6 x - 3 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{3} = -3 + 2 \sqrt{3}$$
    но x3 не удовлетворяет неравенству
    $$x_{4} = - 2 \sqrt{3} - 3$$
    но x4 не удовлетворяет неравенству

    4.
    $$x - 2 < 0$$
    $$x - 1 < 0$$
    или
    $$-\infty < x \wedge x < 1$$
    получаем ур-ние
    $$x^{2} + 2 \left(- x + 1\right) - 4 \left(- x + 2\right) + 7 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$x^{2} + 2 x + 1 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{5} = -1$$


    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{1} = -1$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -1$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$x^{2} + 2 \left|{x - 1}\right| + 7 \leq 4 \left|{x - 2}\right|$$
    $$\left(- \frac{11}{10}\right)^{2} + 2 \left|{- \frac{11}{10} - 1}\right| + 7 \leq 4 \left|{-2 - \frac{11}{10}}\right|$$
    1241        
    ---- <= 62/5
    100         

    но
    1241        
    ---- >= 62/5
    100         

    Тогда
    $$x \leq -1$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x \geq -1$$
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    x = -1
    $$x = -1$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    {-1}
    $$x \in \left\{-1\right\}$$