x^2+2*|x-1|+7<=4*|x-2| (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: x^2+2*|x-1|+7<=4*|x-2| (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
     2                             
    x  + 2*|x - 1| + 7 <= 4*|x - 2|
    x2+2x1+74x2x^{2} + 2 \left|{x - 1}\right| + 7 \leq 4 \left|{x - 2}\right|
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    x2+2x1+74x2x^{2} + 2 \left|{x - 1}\right| + 7 \leq 4 \left|{x - 2}\right|
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    x2+2x1+7=4x2x^{2} + 2 \left|{x - 1}\right| + 7 = 4 \left|{x - 2}\right|
    Решаем:
    Для каждого выражения под модулем в ур-нии
    допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
    решаем получившиеся ур-ния.

    1.
    x20x - 2 \geq 0
    x10x - 1 \geq 0
    или
    2xx<2 \leq x \wedge x < \infty
    получаем ур-ние
    x24(x2)+2(x1)+7=0x^{2} - 4 \left(x - 2\right) + 2 \left(x - 1\right) + 7 = 0
    упрощаем, получаем
    x22x+13=0x^{2} - 2 x + 13 = 0
    решение на этом интервале:
    x1=123ix_{1} = 1 - 2 \sqrt{3} i
    но x1 не удовлетворяет неравенству
    x2=1+23ix_{2} = 1 + 2 \sqrt{3} i
    но x2 не удовлетворяет неравенству

    2.
    x20x - 2 \geq 0
    x1<0x - 1 < 0
    Неравенства не выполняются, пропускаем

    3.
    x2<0x - 2 < 0
    x10x - 1 \geq 0
    или
    1xx<21 \leq x \wedge x < 2
    получаем ур-ние
    x24(x+2)+2(x1)+7=0x^{2} - 4 \left(- x + 2\right) + 2 \left(x - 1\right) + 7 = 0
    упрощаем, получаем
    x2+6x3=0x^{2} + 6 x - 3 = 0
    решение на этом интервале:
    x3=3+23x_{3} = -3 + 2 \sqrt{3}
    но x3 не удовлетворяет неравенству
    x4=233x_{4} = - 2 \sqrt{3} - 3
    но x4 не удовлетворяет неравенству

    4.
    x2<0x - 2 < 0
    x1<0x - 1 < 0
    или
    <xx<1-\infty < x \wedge x < 1
    получаем ур-ние
    x2+2(x+1)4(x+2)+7=0x^{2} + 2 \left(- x + 1\right) - 4 \left(- x + 2\right) + 7 = 0
    упрощаем, получаем
    x2+2x+1=0x^{2} + 2 x + 1 = 0
    решение на этом интервале:
    x5=1x_{5} = -1


    x1=1x_{1} = -1
    x1=1x_{1} = -1
    Данные корни
    x1=1x_{1} = -1
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0x1x_{0} \leq x_{1}
    Возьмём например точку
    x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
    =
    1110- \frac{11}{10}
    =
    1110- \frac{11}{10}
    подставляем в выражение
    x2+2x1+74x2x^{2} + 2 \left|{x - 1}\right| + 7 \leq 4 \left|{x - 2}\right|
    (1110)2+211101+7421110\left(- \frac{11}{10}\right)^{2} + 2 \left|{- \frac{11}{10} - 1}\right| + 7 \leq 4 \left|{-2 - \frac{11}{10}}\right|
    1241        
    ---- <= 62/5
    100         

    но
    1241        
    ---- >= 62/5
    100         

    Тогда
    x1x \leq -1
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    x1x \geq -1
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    -5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.0050
    Быстрый ответ [src]
    x = -1
    x=1x = -1
    Быстрый ответ 2 [src]
    {-1}
    x{1}x \in \left\{-1\right\}