sqrt(-x^2+8*x-12)>10-2*x (неравенство)
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: sqrt(-x^2+8*x-12)>10-2*x (множество решений неравенства)
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
_________________ / 2 \/ - x + 8*x - 12 > 10 - 2*x
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} > - 2 x + 10$$
Подробное решение
[LaTeX]
Дано неравенство:
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} > - 2 x + 10$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} = - 2 x + 10$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} = - 2 x + 10$$
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} = - 2 x + 10$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$- x^{2} + 8 x - 12 = \left(- 2 x + 10\right)^{2}$$
$$- x^{2} + 8 x - 12 = 4 x^{2} - 40 x + 100$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- 5 x^{2} + 48 x - 112 = 0$$
Это уравнение вида
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -5$$
$$b = 48$$
$$c = -112$$
, то
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
или
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = \frac{28}{5}$$
Т.к.
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} = - 2 x + 10$$
и
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} \geq 0$$
то
или
$$x \leq 5$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Данные корни
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{39}{10}$$
=
$$\frac{39}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} > - 2 x + 10$$
Тогда
$$x < 4$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 4$$
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} > - 2 x + 10$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} = - 2 x + 10$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} = - 2 x + 10$$
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} = - 2 x + 10$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$- x^{2} + 8 x - 12 = \left(- 2 x + 10\right)^{2}$$
$$- x^{2} + 8 x - 12 = 4 x^{2} - 40 x + 100$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- 5 x^{2} + 48 x - 112 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -5$$
$$b = 48$$
$$c = -112$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(48)^2 - 4 * (-5) * (-112) = 64
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = \frac{28}{5}$$
Т.к.
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} = - 2 x + 10$$
и
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} \geq 0$$
то
10 - 2*x >= 0
или
$$x \leq 5$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Данные корни
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{39}{10}$$
=
$$\frac{39}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} > - 2 x + 10$$
_____________________
/ 2
/ /39\ 8*39 2*39
/ - |--| + ---- - 12 > 10 - ----
\/ \10/ 10 10 _____
\/ 399
------- > 11/5
10
Тогда
$$x < 4$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 4$$
_____
/
-------ο-------
x1
Решение неравенства на графике
[LaTeX]
Быстрый ответ
[LaTeX]
And(4 < x, x < 28/5)
$$4 < x \wedge x < \frac{28}{5}$$
Быстрый ответ 2
[LaTeX]
(4, 28/5)
$$x \in \left(4, \frac{28}{5}\right)$$