2*cos(x)*cos(x)-3*cos(x)-2>0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 2*cos(x)*cos(x)-3*cos(x)-2>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    2*cos(x)*cos(x) - 3*cos(x) - 2 > 0
    $$\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 > 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 = 0$$
    преобразуем
    $$- 3 \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} - 1 = 0$$
    $$\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \cos{\left (x \right )}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 2$$
    $$b = -3$$
    $$c = -2$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-3)^2 - 4 * (2) * (-2) = 25

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = 2$$
    $$w_{2} = - \frac{1}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$\cos{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\cos{\left (x \right )} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
    Или
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
    $$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (2 \right )}$$
    $$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (2 \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} - \pi$$
    $$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (2 \right )}$$
    $$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (2 \right )}$$
    $$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} - \pi$$
    $$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
    $$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
    $$x_{3} = 2 \pi - \operatorname{acos}{\left (2 \right )}$$
    $$x_{4} = \operatorname{acos}{\left (2 \right )}$$
    Исключаем комплексные решения:
    $$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
    подставляем в выражение
    $$\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 > 0$$
         /2*pi   1 \    /2*pi   1 \        /2*pi   1 \        
    2*cos|---- - --|*cos|---- - --| - 3*cos|---- - --| - 2 > 0
         \ 3     10/    \ 3     10/        \ 3     10/        

              2/1    pi\        /1    pi\    
    -2 + 2*cos |-- + --| + 3*cos|-- + --| > 0
               \10   3 /        \10   3 /    

    Тогда
    $$x < \frac{2 \pi}{3}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > \frac{2 \pi}{3} \wedge x < \frac{4 \pi}{3}$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /2*pi          4*pi\
    And|---- < x, x < ----|
       \ 3             3  /
    $$\frac{2 \pi}{3} < x \wedge x < \frac{4 \pi}{3}$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     2*pi  4*pi 
    (----, ----)
      3     3   
    $$x \in \left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right)$$