2*cos(x)*cos(x)-3*cos(x)-2>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2*cos(x)*cos(x)-3*cos(x)-2>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

2*cos(x)*cos(x) - 3*cos(x) - 2 > 0

$$\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 > 0$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 = 0$$
преобразуем
$$- 3 \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} - 1 = 0$$
$$\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -3$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (2) * (-2) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 2$$
$$w_{2} = - \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (2 \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (2 \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (2 \right )}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (2 \right )}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{3} = 2 \pi - \operatorname{acos}{\left (2 \right )}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left (2 \right )}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 > 0$$

     /2*pi   1 \    /2*pi   1 \        /2*pi   1 \        
2*cos|---- - --|*cos|---- - --| - 3*cos|---- - --| - 2 > 0
     \ 3     10/    \ 3     10/        \ 3     10/        

          2/1    pi\        /1    pi\    
-2 + 2*cos |-- + --| + 3*cos|-- + --| > 0
           \10   3 /        \10   3 /    

Тогда
$$x < \frac{2 \pi}{3}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{2 \pi}{3} \wedge x < \frac{4 \pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

   /2*pi          4*pi\
And|---- < x, x < ----|
   \ 3             3  /

$$\frac{2 \pi}{3} < x \wedge x < \frac{4 \pi}{3}$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

 2*pi  4*pi 
(----, ----)
  3     3   

$$x \in \left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right)$$