2*cos(x)*cos(x)-3*cos(x)-2>0 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 2*cos(x)*cos(x)-3*cos(x)-2>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    2*cos(x)*cos(x) - 3*cos(x) - 2 > 0
    cos(x)2cos(x)3cos(x)2>0\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 > 0
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    cos(x)2cos(x)3cos(x)2>0\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 > 0
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    cos(x)2cos(x)3cos(x)2=0\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 = 0
    Решаем:
    Дано уравнение
    cos(x)2cos(x)3cos(x)2=0\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 = 0
    преобразуем
    3cos(x)+cos(2x)1=0- 3 \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} - 1 = 0
    cos(x)2cos(x)3cos(x)2=0\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 = 0
    Сделаем замену
    w=cos(x)w = \cos{\left (x \right )}
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    w1=Db2aw_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
    w2=Db2aw_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    a=2a = 2
    b=3b = -3
    c=2c = -2
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-3)^2 - 4 * (2) * (-2) = 25

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    w1=2w_{1} = 2
    w2=12w_{2} = - \frac{1}{2}
    делаем обратную замену
    cos(x)=w\cos{\left (x \right )} = w
    Дано уравнение
    cos(x)=w\cos{\left (x \right )} = w
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    x=πn+acos(w)x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}
    x=πn+acos(w)πx = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi
    Или
    x=πn+acos(w)x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}
    x=πn+acos(w)πx = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    x1=πn+acos(w1)x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}
    x1=πn+acos(2)x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (2 \right )}
    x1=πn+acos(2)x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (2 \right )}
    x2=πn+acos(w2)x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}
    x2=πn+acos(12)x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}
    x2=πn+2π3x_{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}
    x3=πn+acos(w1)πx_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} - \pi
    x3=πnπ+acos(2)x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (2 \right )}
    x3=πnπ+acos(2)x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (2 \right )}
    x4=πn+acos(w2)πx_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} - \pi
    x4=πnπ+acos(12)x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}
    x4=πnπ3x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{3}
    x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
    x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}
    x3=2πacos(2)x_{3} = 2 \pi - \operatorname{acos}{\left (2 \right )}
    x4=acos(2)x_{4} = \operatorname{acos}{\left (2 \right )}
    Исключаем комплексные решения:
    x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
    x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}
    Данные корни
    x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
    x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0<x1x_{0} < x_{1}
    Возьмём например точку
    x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
    =
    110+2π3- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}
    =
    110+2π3- \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}
    подставляем в выражение
    cos(x)2cos(x)3cos(x)2>0\cos{\left (x \right )} 2 \cos{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )} - 2 > 0
         /2*pi   1 \    /2*pi   1 \        /2*pi   1 \        
    2*cos|---- - --|*cos|---- - --| - 3*cos|---- - --| - 2 > 0
         \ 3     10/    \ 3     10/        \ 3     10/        

              2/1    pi\        /1    pi\    
    -2 + 2*cos |-- + --| + 3*cos|-- + --| > 0
               \10   3 /        \10   3 /    

    Тогда
    x<2π3x < \frac{2 \pi}{3}
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    x>2π3x<4π3x > \frac{2 \pi}{3} \wedge x < \frac{4 \pi}{3}
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    0-80-60-40-20204060805-5
    Быстрый ответ [src]
       /2*pi          4*pi\
    And|---- < x, x < ----|
       \ 3             3  /
    2π3<xx<4π3\frac{2 \pi}{3} < x \wedge x < \frac{4 \pi}{3}
    Быстрый ответ 2 [src]
     2*pi  4*pi 
    (----, ----)
      3     3   
    x(2π3,4π3)x \in \left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right)
    График
    2*cos(x)*cos(x)-3*cos(x)-2>0 (неравенство) /media/krcore-image-pods/hash/573a0c295a/05bbfb3f69/8a35240b4cfc/im.png