7^(x-1)<=sqrt(7) (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 7^(x-1)<=sqrt(7) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     x - 1      ___
    7      <= \/ 7 
    $$7^{x - 1} \leq \sqrt{7}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$7^{x - 1} \leq \sqrt{7}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$7^{x - 1} = \sqrt{7}$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$7^{x - 1} = \sqrt{7}$$
    или
    $$7^{x - 1} - \sqrt{7} = 0$$
    или
    $$\frac{7^{x}}{7} = \sqrt{7}$$
    или
    $$7^{x} = 7 \sqrt{7}$$
    - это простейшее показательное ур-ние
    Сделаем замену
    $$v = 7^{x}$$
    получим
    $$v - 7 \sqrt{7} = 0$$
    или
    $$v - 7 \sqrt{7} = 0$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    v - 7*sqrt7 = 0

    Разделим обе части ур-ния на (v - 7*sqrt(7))/v
    v = 0 / ((v - 7*sqrt(7))/v)

    делаем обратную замену
    $$7^{x} = v$$
    или
    $$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (7 \right )}}$$
    $$x_{1} = 7 \sqrt{7}$$
    $$x_{1} = 7 \sqrt{7}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 7 \sqrt{7}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + 7 \sqrt{7}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + 7 \sqrt{7}$$
    подставляем в выражение
    $$7^{x - 1} \leq \sqrt{7}$$
    $$7^{-1 + - \frac{1}{10} + 7 \sqrt{7}} \leq \sqrt{7}$$
       11       ___         
     - -- + 7*\/ 7       ___
       10           <= \/ 7 
    7                  
             

    но
       11       ___         
     - -- + 7*\/ 7       ___
       10           >= \/ 7 
    7                  
             

    Тогда
    $$x \leq 7 \sqrt{7}$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x \geq 7 \sqrt{7}$$
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    And(x <= 3/2, -oo < x)
    $$x \leq \frac{3}{2} \wedge -\infty < x$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-oo, 3/2]
    $$x \in \left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$$