7^(x-1)<=sqrt(7) (неравенство)

Укажите решение неравенства: 7^(x-1)<=sqrt(7) (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

 x - 1      ___
7      <= \/ 7 

$$7^{x - 1} \leq \sqrt{7}$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$7^{x - 1} \leq \sqrt{7}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$7^{x - 1} = \sqrt{7}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$7^{x - 1} = \sqrt{7}$$
или
$$7^{x - 1} - \sqrt{7} = 0$$
или
$$\frac{7^{x}}{7} = \sqrt{7}$$
или
$$7^{x} = 7 \sqrt{7}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 7^{x}$$
получим
$$v - 7 \sqrt{7} = 0$$
или
$$v - 7 \sqrt{7} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

v - 7*sqrt7 = 0

Разделим обе части ур-ния на (v - 7*sqrt(7))/v

v = 0 / ((v - 7*sqrt(7))/v)

делаем обратную замену
$$7^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (7 \right )}}$$
$$x_{1} = 7 \sqrt{7}$$
$$x_{1} = 7 \sqrt{7}$$
Данные корни
$$x_{1} = 7 \sqrt{7}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 7 \sqrt{7}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 7 \sqrt{7}$$
подставляем в выражение
$$7^{x - 1} \leq \sqrt{7}$$
$$7^{-1 + - \frac{1}{10} + 7 \sqrt{7}} \leq \sqrt{7}$$

   11       ___         
 - -- + 7*\/ 7       ___
   10           <= \/ 7 
7                  
         

но

   11       ___         
 - -- + 7*\/ 7       ___
   10           >= \/ 7 
7                  
         

Тогда
$$x \leq 7 \sqrt{7}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq 7 \sqrt{7}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

And(x <= 3/2, -oo < x)

$$x \leq \frac{3}{2} \wedge -\infty < x$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

(-oo, 3/2]

$$x \in \left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$$