7^(x-1)<=sqrt(7) (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 7^(x-1)<=sqrt(7) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
     x - 1      ___
    7      <= \/ 7 
    7x177^{x - 1} \leq \sqrt{7}
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    7x177^{x - 1} \leq \sqrt{7}
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    7x1=77^{x - 1} = \sqrt{7}
    Решаем:
    Дано уравнение:
    7x1=77^{x - 1} = \sqrt{7}
    или
    7x17=07^{x - 1} - \sqrt{7} = 0
    или
    7x7=7\frac{7^{x}}{7} = \sqrt{7}
    или
    7x=777^{x} = 7 \sqrt{7}
    - это простейшее показательное ур-ние
    Сделаем замену
    v=7xv = 7^{x}
    получим
    v77=0v - 7 \sqrt{7} = 0
    или
    v77=0v - 7 \sqrt{7} = 0
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    v - 7*sqrt7 = 0

    Разделим обе части ур-ния на (v - 7*sqrt(7))/v
    v = 0 / ((v - 7*sqrt(7))/v)

    делаем обратную замену
    7x=v7^{x} = v
    или
    x=log(v)log(7)x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (7 \right )}}
    x1=77x_{1} = 7 \sqrt{7}
    x1=77x_{1} = 7 \sqrt{7}
    Данные корни
    x1=77x_{1} = 7 \sqrt{7}
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    x0x1x_{0} \leq x_{1}
    Возьмём например точку
    x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
    =
    110+77- \frac{1}{10} + 7 \sqrt{7}
    =
    110+77- \frac{1}{10} + 7 \sqrt{7}
    подставляем в выражение
    7x177^{x - 1} \leq \sqrt{7}
    71+110+7777^{-1 + - \frac{1}{10} + 7 \sqrt{7}} \leq \sqrt{7}
       11       ___         
     - -- + 7*\/ 7       ___
       10           <= \/ 7 
    7                  
             

    но
       11       ___         
     - -- + 7*\/ 7       ___
       10           >= \/ 7 
    7                  
             

    Тогда
    x77x \leq 7 \sqrt{7}
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    x77x \geq 7 \sqrt{7}
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    -5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.00100
    Быстрый ответ [src]
    And(x <= 3/2, -oo < x)
    x32<xx \leq \frac{3}{2} \wedge -\infty < x
    Быстрый ответ 2 [src]
    (-oo, 3/2]
    x(,32]x \in \left(-\infty, \frac{3}{2}\right]