sin(2*x)<=1/3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(2*x)<=1/3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[LaTeX]

sin(2*x) <= 1/3

$$\sin{\left (2 x \right )} \leq \frac{1}{3}$$

Подробное решение

[LaTeX]

Дано неравенство:
$$\sin{\left (2 x \right )} \leq \frac{1}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (2 x \right )} = \frac{1}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (2 x \right )} = \frac{1}{3}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
Или
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \frac{\pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \frac{\pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (2 x \right )} \leq \frac{1}{3}$$
$$\sin{\left (2 \left(\pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + - \frac{1}{10}\right) \right )} \leq \frac{1}{3}$$

sin(-1/5 + 2*pi*n + asin(1/3)) <= 1/3

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
$$x \geq \pi n - \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \frac{\pi}{2}$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

  /   /     asin(1/3)         \     /pi   asin(1/3)             \\
Or|And|x <= ---------, -oo < x|, And|-- - --------- <= x, x < oo||
  \   \         2             /     \2        2                 //

$$\left(x \leq \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(- \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \frac{\pi}{2} \leq x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

[LaTeX]

      asin(1/3)     pi   asin(1/3)     
(-oo, ---------] U [-- - ---------, oo)
          2         2        2         

$$x \in \left(-\infty, \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \frac{\pi}{2}, \infty\right)$$