sin(2*x)<=1/3 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: sin(2*x)<=1/3 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    sin(2*x) <= 1/3
    $$\sin{\left (2 x \right )} \leq \frac{1}{3}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (2 x \right )} \leq \frac{1}{3}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (2 x \right )} = \frac{1}{3}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (2 x \right )} = \frac{1}{3}$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
    $$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
    Или
    $$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
    $$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
    , где n - любое целое число
    Разделим обе части полученного ур-ния на
    $$2$$
    $$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \frac{\pi}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
    $$x_{2} = \pi n - \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \frac{\pi}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (2 x \right )} \leq \frac{1}{3}$$
    $$\sin{\left (2 \left(\pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + - \frac{1}{10}\right) \right )} \leq \frac{1}{3}$$
    sin(-1/5 + 2*pi*n + asin(1/3)) <= 1/3

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
    $$x \geq \pi n - \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \frac{\pi}{2}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /     asin(1/3)         \     /pi   asin(1/3)             \\
    Or|And|x <= ---------, -oo < x|, And|-- - --------- <= x, x < oo||
      \   \         2             /     \2        2                 //
    $$\left(x \leq \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(- \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \frac{\pi}{2} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
          asin(1/3)     pi   asin(1/3)     
    (-oo, ---------] U [-- - ---------, oo)
              2         2        2         
    $$x \in \left(-\infty, \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \frac{\pi}{2}, \infty\right)$$