sin(2*x)<=1/3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(2*x)<=1/3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(2*x) <= 1/3

$$\sin{\left(2 x \right)} \leq \frac{1}{3}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sin{\left(2 x \right)} \leq \frac{1}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left(2 x \right)} = \frac{1}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(2 x \right)} = \frac{1}{3}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
Или
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(2 x \right)} \leq \frac{1}{3}$$
$$\sin{\left(2 \left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}\right) \right)} \leq \frac{1}{3}$$

-sin(1/5 - asin(1/3)) <= 1/3

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \pi n + \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \pi n + \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}$$
$$x \geq \pi n - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /                 /  ___\\     /         /  ___\             \\
  |   |                 |\/ 2 ||     |         |\/ 2 |             ||
  |   |             atan|-----||     |     atan|-----|             ||
  |   |                 \  4  /|     |pi       \  4  /             ||
Or|And|0 <= x, x <= -----------|, And|-- - ----------- <= x, x < pi||
  \   \                  2     /     \2         2                  //

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}}{2}\right) \vee \left(- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2} \leq x \wedge x < \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

        /  ___\              /  ___\     
        |\/ 2 |              |\/ 2 |     
    atan|-----|          atan|-----|     
        \  4  /     pi       \  4  /     
[0, -----------] U [-- - -----------, pi)
         2          2         2          

$$x\ in\ \left[0, \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}}{2}\right] \cup \left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}, \pi\right)$$

График