sqrt(x^2+x+4)<2*x+|3*x-2| (неравенство)

Укажите решение неравенства: sqrt(x^2+x+4)<2*x+|3*x-2| (множество решений неравенства)

Вы ввели

   ____________                  
  /  2                           
\/  x  + x + 4  < 2*x + |3*x - 2|

$$\sqrt{x^{2} + x + 4} < 2 x + \left|{3 x - 2}\right|$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sqrt{x^{2} + x + 4} < 2 x + \left|{3 x - 2}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{x^{2} + x + 4} = 2 x + \left|{3 x - 2}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$3 x - 2 \geq 0$$
или
$$\frac{2}{3} \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- 2 x - \left(3 x - 2\right) + \sqrt{x^{2} + x + 4} = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 5 x + \sqrt{x^{2} + x + 4} + 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = \frac{7}{8}$$

2.
$$3 x - 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < \frac{2}{3}$$
получаем ур-ние
$$- 2 x - \left(2 - 3 x\right) + \sqrt{x^{2} + x + 4} = 0$$
упрощаем, получаем
$$x + \sqrt{x^{2} + x + 4} - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = 0$$


$$x_{1} = \frac{7}{8}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = \frac{7}{8}$$
$$x_{2} = 0$$
Данные корни
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = \frac{7}{8}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 0$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{x^{2} + x + 4} < 2 x + \left|{3 x - 2}\right|$$
$$\sqrt{- \frac{1}{10} + \left(- \frac{1}{10}\right)^{2} + 4} < 2 \left(- \frac{1}{10}\right) + \left|{\left(-1\right) 2 + 3 \left(- \frac{1}{10}\right)}\right|$$

  _____     
\/ 391    21
------- < --
   10     10
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 0$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 0$$
$$x > \frac{7}{8}$$

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < 0), And(7/8 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < 0\right) \vee \left(\frac{7}{8} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, 0) U (7/8, oo)

$$x\ in\ \left(-\infty, 0\right) \cup \left(\frac{7}{8}, \infty\right)$$

График