(|x^2-4*x|+3)/(x^2+|x|+5)>=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (|x^2-4*x|+3)/(x^2+|x|+5)>=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

| 2      |         
|x  - 4*x| + 3     
-------------- >= 1
  2                
 x  + |x| + 5      

$$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \geq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \geq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 1$$
преобразуем
$$\frac{1}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \left(- x^{2} - \left|{x}\right| + \left|{x \left(x - 4\right)}\right| - 2\right) = 0$$
$$-1 + \frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \left|{x^{2} - 4 x}\right|$$
Дано уравнение:
$$-1 + \frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = 3 + |x^2 - 4*x|

b1 = 5 + x^2 + |x|

a2 = 1

b2 = 1

зн. получим ур-ние
$$\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3 = x^{2} + \left|{x}\right| + 5$$
$$\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3 = x^{2} + \left|{x}\right| + 5$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

| 2      |        2      
|x  - 4*x| = 2 + x  + |x|

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$\left|{x^{2} - 4 x}\right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = -0.666666666667$$
$$x_{1} = -0.666666666667$$
Данные корни
$$x_{1} = -0.666666666667$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-0.766666666667$$
=
$$-0.766666666667$$
подставляем в выражение
$$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \geq 1$$

 |               2                    |         
 |-0.766666666667  - 4*-0.766666666667| + 3     
------------------------------------------- >= 1
                                          1     
/               2                        \      
\-0.766666666667  + |-0.766666666667| + 5/      

1.04721105088317 >= 1

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq -0.666666666667$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

And(x <= -2/3, -oo < x)

$$x \leq - \frac{2}{3} \wedge -\infty < x$$

Быстрый ответ 2

(-oo, -2/3]

$$x \in \left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]$$